Научтруд
Войти
Категория: Математика

ПРИКЛЕЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ НА ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Научный труд разместил:
Valoneb
11 сентября 2020
Автор: Башашина К. В.

УДК 514.76

К. В. Башашина]

1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия KBashashina@kantiana.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-3

Приклеенная линейная связность на поверхности проективного пространства

В многомерном проективном пространстве рассмотрена поверхность как многообразие центрированных плоскостей. Над этим многообразием возникает приклеенное расслоение линейных кореперов, которое не является главным расслоением. Задание связности в таком расслоении превращает его в пространство приклеенной линейной связности. Доказано, что объект кривизны является тензором. Найдено условие, при котором пространство приклеенной линейной связности превращается в пространство проективной связности Картана.

Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {Л1} (I, ^, К = 0, п), деривационные формулы которого имеют вид

ал, = cэJIЛJ. (1)

Поступила в редакцию 09.05.2020 г. © Башашина К. В., 2020

Структурные уравнения неэффективно действующей в пространстве Рп линейной группы ОЬ(п +1) запишем в виде

ёС = со1} лСк . (2)

В пространстве Рп рассмотрим га-мерную поверхность Хт как семейство касательных плоскостей. Произведем специализацию подвижного репера {А0, А;, Аа} (... = 1, т;

а,... = т +1,п), помещая вершину Л0 в точку поверхности Хт, вершины А — в касательную плоскость Тт , а вершины Аа — вне касательной плоскости.

Перепишем формулы (1) с учетом разбиения индексов:

ёЛ0 = с00 Л0 + а&оА + сааAа,

¿А = С Ло + с/А} + саАа,

ёАа = Са А + СаА + СаЛр.

Вершина А0 является точкой касания плоскости Тт к поверхности Х°т, описанной этой вершиной; значит, ее бесконечно малое перемещение лежит в Тт : ёА0 е Тт , следовательно

< = 0. (3)

Замыкая это уравнение и разрешая по лемме Картана, получим

<= ъаю, ъа = ъа, с& =ю. (4)

Уравнения (3, 41) определяют поверхность Хт в заданном репере.

Продолжая уравнения (41), найдем дифференциальные уравнения на функции ъа :

+ ъаС = ъаю, ъ^ = ъак] = ъ«к, (5)

где дифференциальный оператор А действует следующим образом:

ль; = йь; - ьС - ъс + ь? с;.

Из уравнений (51) видно, что объект Щ является тензором

и называется основным тензором поверхности (см., напр., [1, с. 170]).

Из структурных уравнений (2) с учетом уравнений (3, 41) получим

йС = С л (сС - с>СС), (6)

йсС& = С л С + С л юС&к (&&, у&, к& = 0, т), (7)

где С = Ь%С(Ь;к = 0).

Эти уравнения аналогичны структурным уравнениям главного расслоения линейных кореперов Ь 2 (Хт) над поверхностью Хт с типовым слоем — линейной группой

Х(т+1)2 = С1(т + 1).

Однако, поскольку m базисных форм С входят в совокупность форм со1у, будем говорить о приклеенном расслоении линейных кореперов, которое обозначим Ь + 2 - т (Хт).

Применим способ Лаптева — Лумисте [2, с. 62, 82; 3] задания связности в главном расслоении для определения связности в приклеенном расслоении Ь т+1)2 -т (Хт):

С=о-п>;о. (8)

Найдем внешние дифференциалы этих форм, используя уравнения (6, 7):

йСЗ&С, = тк:, л С +С л (йп&к - ПС - ПЮу + П&уС +

+п;,кС+£%)-п% ПС лС.

Пусть компоненты Па,к удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

Щк+п%юо0 +сс,к=п;,к1о. (9)

Структурные уравнения форм приклеенной связности окончательно запишем в виде

ёс&С, = С а С + К&гк1юк а сС, (10)

где компоненты объекта кривизны выражаюся по формулам

а = Ппы] -П^кП^] , (П)

причем по крайним индексам в скобках производится альтернирование.

Для продолжения уравнения (9) найдем внешние дифференциалы форм с&,к :

ёюг&Гк = ё(ъЧ,кСа) = дЬагк А с0 + ъак(Са А Ср + Ю0& А о&т,) =

/иа,^т > а т& >Я а . т_а I 1 г& = (ъГт°к + К&Ю/ - ъГкСр+ ъГЫС ) АСа +

+ ъаЮаА0р + ЩС А ют,.

Приведем подобные слагаемые и воспользуемся обозначениями для трехиндексных форм ю:

1 г& 1 а г& т та & т& та т& & I 1а г&

Ю&к =-ъГкЮаАСк - + ъГк°а^ АСт&+С А ъ2Сг сг т& г

ш]&т тк ш]&к ш]&к1

Окончательно имеем

11& т& г г& т& V т т V

С&к = С&к А Ст& - Ст&к А С& - С&т АСк +С А СГЫ ,

где С&кт = ЦкпРС & С]&[кт] = 0 .

Уравнения на продолжения компонент объекта связности Пимеют вид:

ЛП% + 2ЩкК - nlkj -jal+n™:k®¿l + (12) +Пj,k<+П;Ук+ауЦ = nj,klmam.

Используя формулы (9, 11, 12), найдем дифференциальные сравнения по модулю базисных форм на компоненты объекта кривизны R рассматриваемой связности:

Ш&гы + 2RÍma°0 - 0 (moda&). (13)

Теорема 1. Связность в приклеенном расслоении линейных кореперов L + 2 m (Xm) задается с помощью поля объекта

связности n&j,k, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (9). Объект связности Пг-,к определяет формы связности (8), удовлетворяющие структурным уравнениям (10), в которые входят компоненты объекта кривизны R&fkl, выражающиеся по формуле (11) через объект

связности n&j,k и его пфаффовы производные. Объект кривизны приклеенной линейной связности является тензором, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным сравнениям (13).

Определение. Расслоение приклеенных линейных кореперов L + 2 - m (Xm) со структурными уравнениями (6, 7), в котором задана связность полем объекта Пг-,к, назовем пространством приклеенной линейной связности L, , ,2 , имеющим

J ( m+1) - m,m

структурные уравнения (6, 10).

Распишем уравнения на компоненты связности (9) подробно:

ЛП&к - о, ЛП0к + na + nloka0 - 0, ЛЩк +П)ка0 -П&;ка0 + ®)к - 0,

л Гт0 , п п0 0 j-r-0 0 , r-rl 0 , 0 п ЛПjk + 2Пjka0 - П0ка3 + Пjkal + ajk - 0

Положим простейшую тензорную часть объекта связности Травной нулю: Пгок = 0 . Тогда уравнения остальных компонент упростятся:

П +ПХ - о, Пк +П>0 + ^ - 0,

лп0 , ^пО 0 п-0 0 , т~т/ 0 , 0 п ЛП}к + 2П;к®0 " П0к®} + П}к®1 + ®;к - 0.

Значит, справедлива

Теорема 2. Если подтензор Пгок объекта связности П&ук

обращается в нуль, то Зг0 = а>&, поэтому пространство приклеенной линейной связности Ь , ,2 становится прост( т+1) - т,т ^

ранством проективной связности Картана Ртт (см., напр., [2, с. 119; 4, с. 23; 5]) со структурными уравнениями (10), ассоциированными с поверхностью Хт проективного пространства Рп.

Список литературы

1. Базылев В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий. М., 1989.
2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Т. 9. М., 1979. С. 1—248.
3. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // ДГМФ. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 179—187.
4. Столяров А. В., Глухова Т. Н. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий. Чебоксары, 2007.
5. Шевченко Ю. И. Об оснащении Картана // ДГМФ. Калининград, 1983. Вып. 14. С. 107—110.

K. V. Bashashina1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia KBashashina@kantiana.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-3

Glued linear connection on surface of the projective space

Submitted on May 9, 2020

We consider a surface as a variety of centered planes in a multidimensional projective space. A fiber bundle of the linear coframes appears over this manifold. It is important to emphasize the fiber bundle is not the principal bundle. We called it a glued bundle of the linear coframes. A connection is set by the Laptev — Lumiste method in the fiber bundle. The ifferential equations of the connection object components have been found. This leads to a space of the glued linear connection. The expressions for a curvature object of the given connection are found in the paper. The theorem is proved that the curvature object is a tensor. A condition is found under which the space of the glued linear connection turns into the space of Cartan projective connection.

The study uses the Cartan — Laptev method, which is based on calculating external differential forms. Moreover, all considerations in the article have a local manner.

References

1. Bazylev, V.T.: The geometry of differentiable manifolds. Moscow (1989).
2. Evtuchik, L. E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N.M., Sirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. J. Soviet Math., 14:6, 1573— 1719 (1980).
3. Shevchenko, Yu. I.: Laptev and Lumiste methods connectivity in the main bundle. DGMF. Kaliningrad. 37, 179—187 (2006).
4. Stolyarov A. V., Glukhova T.N.: Conformal differential geometry of framed manifolds. Cheboksary (2007).
5. Shevchenko, Yu. I.: About Cartan equipment. DGMF. Kaliningrad. 14, 107—110 (1983).
ПОВЕРХНОСТЬ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИКЛЕЕННОЕ РАССЛОЕНИЕ ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ ПРИКЛЕЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ ПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ КАРТАНА ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ projective space surface glued bundle linear connection glued linear connection