Научтруд
Войти
Категория: Математика

ПСЕВДОТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ КОАФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ В КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ К МНОГООБРАЗИЮ ГИПЕРЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Научный труд разместил:
Zinoviy
11 сентября 2020
Автор: Вялова А. В.

УДК 514.75

А. В. Вялое а1

1 Калининградский государственный технический университет, Россия vyalova.alexa@mail.ru сЫ: 10.5922/0321-4796-2020-51-6

Псевдотензоры кривизны и кручения коаффинной связности в касательном расслоении к многообразию гиперцентрированных плоскостей

В многомерном проективном пространстве рассматривается семейство гиперцентрированных плоскостей, размерность которого совпадает с размерностью образующей плоскости. Над ним возникают главные расслоения, структурные формы которых связаны соотношениями. В главном расслоении линейных корепе-ров задана коаффинная связность. Доказано, что объекты кривизны и кручения коаффинной связности образуют псевдотензоры.

Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу Я = {А,А1} (I,... = 1,«), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами

ёА = вА + а1А1, dAI =6А1 + аJAJ + т1А . (1)

Поступила в редакцию 15.05.2020 г. © Вялова А. В., 2020

Структурные уравнения проективной группы ОР(п) (см., напр., [1]) запишем в виде

Ба = а л®, =щ ла}, (2)

Ва] = л®к лак + л а1.

В проективном пространстве Рп рассмотрим га-мерную плоскость Рт с многомерным центром Рт_х, которую обозначим Р™~1 [2]. Произведем разбиение значений индексов:

I = {г,а} : г,... = 1, т, а,... = т +1,п.

Специализируем подвижной репер Я = {А, Аг, Аа }, помещая вершины А, Аг на плоскость Рт , при этом вершины Аг — в ее центр Рт_1. Из деривационных формул (1) имеем

ёА = в А + а 1Аг +таАа, ¡А, = А + а® А, + а^Аа + а, А,

¡Аа = вАа + ®&аА + ПИАР + ®аА

Формулы (3) дают уравнения стационарности гиперцен-трированной плоскости Р™_ [3]:

аа = 0, а" = 0, ® = 0. (4)

Выбирая т форм а в качестве базисных, запишем уравнения многообразия Ут — семейства гиперцентрированных плоскостей Р^1 в виде

аа=Лаа1., аа=№аа]. (5)

Замечание. Внешняя плоскость Рт двойственна плоскости Пп_т_х, а внутренняя Рт_1 — плоскости Пп_т. Пара (Рт, Рт_1) двойственна обобщенному пространственному элементу (Пп_т_Ъ Пп_т ) , Пп_т_\\ С Пп_т .

Найдем внешние дифференциалы базисных форм

Ба, = в! л а}, в! = а& - Лаа . (6)

Дифференцируя внешним образом уравнения (5) и разрешая по лемме Картана, получаем систему дифференциальных уравнений на компоненты фундаментального объекта 1-го порядка Л1 = {Л", Л&

АЛ"(1) -Л]а]=Л1]а], АЛ?0) = №!как , (7)

где дифференциальный оператор А действует следующим образом:

АЛ& = йЛ? + Ла*в& + Л®а" - Ла&0,

причем Л&] = 0, Л"[а] = 0.

Утверждение 1. Фундаментальный объект 1-го порядка Л1 = {Л"1,Л& семейства Ут является псевдотензором [1], содержащим подпсевдотензор Л"].

Исследование многообразия Ут в репере нулевого порядка приводит к разбиению структурных форм а1, , а1 на две совокупности: первичные формы а",а1, включающие базисные формы а1, и вторичные формы а1 ,щ),аа,а1а,а", внешние дифференциалы которых имеют вид

Ба1 = а л щ) + щ л а1, (8)

Б а) = а) ла&к +ак л а1*, (9)

Ба" =агрла" + щ л а®, (10)

Ба&а = °а лЩ& +а®ла®+аа лЩ , (11)

Ба" =а®Лаp+Щлаг, (12)

О = ЛаОа, of =A°fv&a + Sf(ак-Лакта) + 8)0, (13)

о™ = -Л]а]р + 5а (о1 - Л*оу) - Ла1ор.

Утверждение 2. Уравнения (61, 8—12) являются структурными уравнениями главного расслоения Gr (Vm), базой которого служит многообразие Vm, а типовым слоем — подгруппа Gr стационарности гиперцентрированной плоскости Pmm1, причем r = n(n - m +1) + m2.

Расслоение Gr (Vm) содержит 4 главных фактор-расслоения над той же базой Vm со следующими структурными уравнениями:

1) (6Ь 9) — расслоение плоскостных линейных кореперов Lm2 (Vm) с типовым слоем Lm2 = GL(m) — линейной факторгруппой, действующей неэффективно во внутренней плоскости Pm-1 ;
2) (61, 8, 9) — расслоение аффинных кореперов Lm(m+1)(Vm) с типовым слоем Lm(m+X) = GA(m) — аффинной факторгруппой, действующей в гиперцентрированной плоскости Р^-1;
3) (61, 10) — расслоение нормальных линейных кореперов L( n-m)2 (Vm) с типовым слоем — линейной факторгруппой, действующей неэффективно в проективном факторпространстве p = Р / Р •

n-m-1 n m &

4) (6j, 10, 12) — расслоение центропроективных кореперов

L(n-m)(n-m+1) (Vm) с типовым слоем L(n-m)(n-m+1) — центропроективной факторгруппой, действующей в проективном центрированном факторпространстве Pn0-m = Pn-m / Pn-m-1 , где

P = Р / Р

n-m n m-1

Продифференцируем внешним образом формы (62) с учетом уравнений (9, 12) и дифференциальных уравнений (72) на компоненты подобъекта {Л } :

Бв/ = вгк лвк + ак лв/к, (14)

ввк = (Л1к^а + Л>к) + #(ак - Лааа) +

+ 3к (а - Л а а) -Л7кш а . (15)

Так как в[]к] = 0 , то справедлива

Теорема. Многообразие Ут является голономным [4] гладким многообразием.

Замечание. Произвольное семейство гиперцентрированных плоскостей рассмотрено в работе [5]. В общем случае нельзя показать, что оно является голономным многообразием.

Зададим связность в главном расслоении линейных коре-перов 1т2(Ут)со структурными уравнениями (61, 14), где

1т2(Ут ) = (т) — линейная группа, действующая в каждом

касательном пространстве к многообразию Ут . Для этого введем формы

в/ =вв - Н?ак. (16)

Продифференцируем эти формы внешним образом с помощью уравнений (61, 14), затем заменим в полученных уравнениях формы в в на их выражения из (16). Сделаем обратную замену в тех слагаемых, в которых формы умножаются внешним образом на базисные формы, тогда

Бв/ = вк л вв - (Л^)(к) + в) л а - Нк1НГа лат . (17)

Здесь дифференциальный оператор А действует следующим образом:

AN( jXk) = dNjk + Nfej + N№ - N(ke\\.

В соответствии с теоремой Картана — Лаптева [6] зададим связность в главном расслоении линейных кореперов с помощью поля объекта связности N = {N/k} на базе Vm уравнениями

AN((/})(k) + 0j = Njklal. (18)

Утверждение 3. Объект коаффинной связности N = {Njk } является квазипсевдотензором. Подставляя (18) в (17), получим

Бв/ = вк лв> + K/klVk ла{,

где компоненты объекта кривизны K = {Kjl} выражаются по формулам

Kjk = Nja] - Nm[kN]m]. (19)

Подставляя в уравнения (6) формы связности в/ , получим

Dat = в в л e ■ + Sjkak л e.,

где Si k = Ni[ k] — компоненты объекта кручения.

С учетом симметрии форм 0}к по верхним индексам, найдем дифференциальные сравнения

AS((/))(k) = 0 (mode, ).

Утверждение 4. Объект кручения S-k коаффинной связности является псевдотензором [1].

Продолжая уравнения (18), найдем сравнения

к)(l) + Nmkefl + Njm0kl _ Nikgrnl = q . ^q)

Найдем дифференциальные сравнения на компоненты объекта кривизны K = [K-kl} . Для этого продифференцируем выражения (19) с учетом сравнений, полученных при альтернации по двум последним индексам из (18, 20). Получим

Ж^)(l) = 0 (mod со1).

Утверждение 5. Объект кривизны K-kl коаффинной связности является псевдотензором [1].

Список литературы

1. Шевченко Ю. И. Оснащение центропроективных многообразий : учеб. пособие. Калининград, 2000.
2. Вялова А. В. Тензорность кривизны фундаментально-групповой связности, ассоциированной с конгруэнцией гиперцентрирован-ных плоскостей // Международная молодежная школа-семинар «Современная геометрия и ее приложения». Международная научная конференция «Современная геометрия и ее приложения» : сб. тр. Казань, 2017. С. 36—37.
3. Вялова А. В. Объект кривизны фундаментально-групповой связности, ассоциированной с конгруэнцией гиперцентрированных плоскостей // ДГМФ. Калининград, 2018. Вып. 49. С. 59—66.
4. Шевченко Ю. И. Оснащение голономных и неголономных гладких многообразий : учеб. пособие. Калининград, 1998.
5. Башашина К. В. Фундаментально-групповые связности и композиционное оснащение семейства гиперцентрированных плоскостей в проективном пространстве // ДГМФ. Калининград, 2018. Вып. 49. С. 19—28.
6. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.

A V. Vyalova] 1 Kaliningrad State Technical University 1 Sovietsky Prosp., Kaliningrad, 36022, Russia vyalova.alexa@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-6

Curvature and torsion pseudotensors of coaffine connection in tangent bundle of hypercentred planes manifold

Submitted on May 15, 2020

The hypercentered planes family, whose dimension coincides with dimension of generating plane, is considered in the projective space. Two principal fiber bundles arise over it. Typical fiber for one of them is the stationarity subgroup for hypercentered plane, for other — the linear group operating in each tangent space to the manifold. The latter bundle is called the principal bundle of linear coframes. The structural forms of two bundles are related by equations.

It is proved that hypercentered planes family is a holonomic smooth manifold.

In the principal bundle of linear coframes the coaffine connection is given. From the differential equations it follows that the coaffine connection object forms quasipseudotensor. It is proved that the curvature and torsion objects for the coaffine connection in the linear coframes bundle form pseudotensors.

References

1. Shevchenko, Yu. I.: Clothing of centreprojective manifolds. Kaliningrad (2000).
2. Vyalova, A. V.: Tensority of curvature of fundamental-group connection, associated with congruence of hypercentered planes. International yonth school-seminar «Modern geometry and its applications». International scientific conference «Modern geometry and its applications». Kazan, 36—37 (2017).
3. Vyalova, A. V.: The curvature object for fundamental-group connection associated with congruence of hypercentred planes. DGMF. Kaliningrad. 49, 59—66 (2018).
4. Shevchenko, Yu. I.: The equipment of holonomic and nonholono-mic smooth manifolds. Kaliningrad (1998).
5. Bashashina, K. V.: Fundamental-group connection andcomposite clothing for hypercentred planes family in projective space. DGMF. Kaliningrad. 49, 19—28 (2018).
6. Evtushik, L.E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N.M., Shirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. J. Soviet Math., 14:6, 1573—1719 (1980).
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО СЕМЕЙСТВО ГИПЕРЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ КОАФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ ПСЕВДОТЕНЗОР КРИВИЗНЫ ПСЕВДОТЕНЗОР КРУЧЕНИЯ projective space hypercentered planes family coaffine connection curvature pseudotensor torsion pseudotensor