Научтруд
Войти
Категория: Математика

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИАНКИ ВОЛЧКА МИНДИНГА

Научный труд разместил:
Anaswyn
11 сентября 2020
Автор: Чешкова М. А.

УДК 514.75

М.А. Пешкова1

1 Алтайский государственный университет, Барнаул cma@math.asu.ru, cma41@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-15

Преобразование Бианки волчка Миндинга

Работа посвящена изучению преобразования Бианки для поверхностей вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны — волчка Миндинга, катушки Миндинга и псевдосферы (поверхности Бельтрами). Изучение поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны (псевдосферических поверхностей) имеет большое значение для интерпретаций планиметрии Лобачевского. Установлена связь геометрических характеристик псевдосферических поверхностей с теорией сетей, теорией солитонов, нелинейными дифференциальными уравнениями и уравнениями синус-Гордона. Уравнение Бш-Гордона играет важную роль в современной физике. Преобразования Бианки позволяют по данной псевдосферической поверхности получить новые псевдосферические поверхности. Построено преобразование Бианки для волчка Миндинга. Волчок Мин-динга и его преобразование Бианки строятся с использованием математического пакета.

В евклидовом пространстве Е3 рассмотрим поверхность вращения М, полученную вращением плоской кривой вокруг оси.

Поступила в редакцию 08.05.2020 г. © Чешкова М. А., 2020

Обозначим через k = (0,0,1) орт оси, а через e(v) = (cos(v), sin(v), 0) — радиус-вектор единичной окружности, расположенной в плоскости, ортогональной оси. Тогда поверхность M можно задать в виде

r = ue(v ) + f (u)k, (1)

где f — дифференцируемая функция, v, u — параметры. Обозначим через n орт нормали к поверхности М. Тогда

n = 2 . (2)

V( f&) +1

Главные кривизны k1, k2 поверхности M имеют вид f& f&

k = J k =__-_

K1 - I-;-j K2 - , _n3 •

Гауссова кривизна K = k1k2 равна f& f&

T = K . +1)

Требуя K = const, получим два решения:

^V^271 if

„ . r \\Kt2 -(c-1) ,

f (U) =H c - Kt 2 dt + C1

0- c - Kt

/ (и) = ~и Ю (КС21) * + с,, (3)

0* с - К2

где с,, с — произвольные константы.

В [1, с. 100] форма меридиана / = /(и) исследована без использования вычисления эллиптического интеграла. Мы построим данные поверхности, используя математический пакет.

Рассмотрим случай, когда K < 0, c = a2 < 1. Для определенности полагаем K = -1. Из (3) имеем

f (и)=±|

22 -1 - a +1
2 2 Л + C1. a +1

При 0 < с < 1 имеем волчок Миндинга.

Требуя, чтобы 1 — с — и2 >0, получим и е [-V1 - с ,0].

Полагая с =1, c использованием математического пакета 4

находим решение (3). Имеем

f (и) = ±(2EШpticF(2u3^3^/з7) - lEШpticE(2uДл/з7)) + С,

f &(и) = ±

3 2
4
1 + и2 4

Выбираем знак плюс и С = 0 . Введем обозначение

Ь = f (-7Г7 = -2EШpticK(^/37) + 1/2EШptюE(л/37)

и рассмотрим поверхности

VI: г(и,у) = (исо8(\\), шт(у), /(и)), У2: г(и,у) = (исон(\\), шт(у), - /(и) + 2Ь), V3: г(и,у) = (исон(\\), шт(у), - /(и)), У4: г(и,у) = (исон(\\), шт(у), /(и)-2Ь),

и е[-у4,0], Vе[-п,п\\ Эта поверхность называется волчком Миндинга.

Построим волчок Миндинга (4 секции) (рис. 1).

Рис. 1. Волчок Миндинга (4 секции)

Рассмотрим две гладкие поверхности M, M и диффеоморфизм f : M ^ M . Касательные плоскости в соответствующих точках p е M, f (p) е M пересекаются по прямой (p, f (p)), образуя прямой двугранный угол, причем вектор pf (p) = pVp, где Vp — орт, р = const. Обозначим через n орт нормали к поверхности M в точке p е M. Тогда касательная плоскость к поверхности M в точке f (p) е M имеет вид

Tf (p )M = (f (p), n,V).

Теорема Бианки утверждает, что если поверхность M

имеет гауссову кривизну K =---, то и поверхность M имеР

ет ту же кривизну. 138

Обозначим через г радиус-вектор поверхности М, а через Я — радиус-вектор поверхности М . Полагаем К = -1 и рассмотрим отображение / : М ^ М [2, с. 489]. Имеем

Я = г-V.

Из условия < Я [ПV ] > = 0 получим

Г -8V = с(г V + а(г )п. Так как < V, V > = 1, < 8V, V > = 0, то

с(Г) = < Г , V >, УгУ = г - с(г V.

Имеем

VlV1 = 1 -^1)2, VlV2 =-^V2, V2V1 =-g22V1V2, V2V2 = 1 - g22 (V2)2,

V = У Г glj =< Г, 0 > Г1 = 8иГ, Г2 = 8Уг. (4)

Следуя Миндингу [3, с. 175], введем обозначение

и = с№к@),а = 1.

Имеем

/ (Г) = Ц 1 - 4 ск2^ )*,

() = 2ЕтрПсГ(-^8к(г),4зу--ЕтрПсЕ(-^8к(г),4зу, 3\\ 3 2 3л13

Г = 2 8Ще(у) + /(г)к,г1 = 2 сЩе(у) + ^1-1ск2(()к,

1 1 2

Г2 = -зк(0е&(у)^11 = 1, ^2 = 0, g22 = -*к ^).

Определим символы Кристоффеля

Г22 = -1/4sh(t)ch(t), Ги2 = r212cth(t),cth(t) =

ch(t) sh(t)

Остальные rj равны нулю. Формулы (4) примут вид

д у1 = 1 - (V1)2, (5.1)

а V2 + ^ v 2 = -v V2, (5.2)

ду1 -1ch(t)sh(t)V2 = -l4sh2(t)V1V2, (5.3)

дУ + ^ V1 = 1-1sh2(t)(V2)2. (5.4)

v sh(t) 4

Чтобы определить решение, рассмотрим равенства (5.1), (5.3). Имеем

V1 = th(t + F(v)), V2 = - 4дvF(v)th(t + F(v))2 + 4дvF(v)/sh(t) & - th(t + F(v))sh(t) + ch(t) &

Потребуем, чтобы < V,V > = 1. Тогда

4 ,

(1 ): F(v) = ± t + arcth----,

1 + e - 2e

(2 ): F(v) = ln(± tg(C/4-v/4)),C = const.

Если выполняется (1*), то V2 = 0,V = r1. Нормаль к поверхности M имеет вид n = [n,V] = r2/ | r2 |= e& (v). Тогда dt e& (v) = 0,

поверхность M вырожденная. Остается случай (2*). Имеем

V1 = (e2t + 1)cos2(C/4 - v/4) - e2t (e2t -1)cos2(C/4-v/4)-e2t &

М. А. Чешкова

^ _+ 8 е2 зт(С/4 - У/4) СОБ(С/4 - У/4) ~ ((е2 -1) соз2(С/4-у/4) ) - е2 &

М: Я(и,у) = 2эк(Г)е(у) + /$)к - V1r1 - V2r2. (7)

Равенства (5.2), (5.4) в силу (6) выполняются.

При 1 -1ск2 (Г) > 0 имеем t е [0, аГсск(2)]. 4

Построим преобразования Бианки волчка Миндинга (7) (рис. 2).

Рис. 2. Преобразования Бианки волчка Миндинга

При этом мы выбрали V2 со знаком плюс при С = л, t е [0, аГсск(2)], у е [-2л, 2л] .

Список литературы

1. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. М. ; Л., 1948. Ч. 2.
2. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М., 1963.
3. Норден А. П. Об основаниях геометрии. М., 1956.

M.A. Cheshkova1 1 Altai State University 61 Prosp. Lenina, Barnaul, 656049, Russia cma@math.asu.ru, cma41@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-15

Transformation of Bianchi for Minding Top

Submitted on May 8, 2020

The work is devoted to the study of the Bianchi transform for surfaces of revolution of constant negative Gaussian curvature. The surfaces of rotation of constant negative Gaussian curvature are the Minding top, the Minding coil, the pseudosphere (Beltrami surface). The study of surfaces of constant negative Gaussian curvature (pseudospherical surfaces) is of great importance for the interpretation of Lobachevsky planimetry. The connection of the geometric characteristics of pseudospherical surfaces with the theory of networks, with the theory of solitons, with nonlinear differential equations and sin-Gordon equations is established. The sin-Gordon equation plays an important role in modern physics. Bianchi transformations make it possible to obtain new pseudospherical surfaces from a given pseudospherical surface. The Bianchi transform for the Minding top is constructed. Using a mathematical package, Minding&s top and its Bianchi transform are constructed.

References

1. Kagan, V.F.: Fundamentals of the theory of surfaces in the tensor exposition. Part 2, Moscow, Leningrad (1948).
2. Shulikovsky, V.I.: Classical differential geometry in tensor exposition. Moscow (1963).
3. Norden, A. P.: On the foundations of geometry. Moscow (1956).
ГАУССОВА КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧОК МИНДИНГА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИАНКИ gaussian curvature surface of revolution minding top bianchi transform