Научтруд
Войти
Категория: Математика

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕКЛАССИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

Научный труд разместил:
Vladimirovich
11 сентября 2020
Автор: Молдояров Уларбек Дуйшобекович

^Г, СибАК

www.sibac.m1o

Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40), 2016г.

Список литературы:

1. Аширбаева А.Ж., Мамазиаева Э.А. Решение нелинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента // Вестник Кыргызско-Российского славянского университета. - Бишкек. - 2015. - Т. 15, Вып. 5. - С. 61-64.
2. Иманалиев М.И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными. - Бишкек: Илим, 1992. - 112 с.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕКЛАССИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

Молдояров Уларбек Дуйшобекович

ст. преподаватель кафедры ИТАС, Ошский государственный университет, Кыргызская Республика, г. Ош, E-mail: ular_osh@list.ru

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THIRD ORDER

WITH NONCLASSICAL BOUNDARY CONDITIONS

Ularbek Moldoyarov

senior lecture, Chair of Information Technolog y and Automatization System Osh State University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Методом сжатых отображений доказана разрешимость краевой задачи для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка с неклассическим граничным условием.

ABSTRACT

The method of contraction mapping proved the solvability of boundary value problem for nonlinear partial differential equations of the third order with nonclassical boundary condition.

^ Сийдк

Естественные и математические науки в современном мире №5 (40). 2016г._www.sibac.info

Краевые задачи с неклассическими граничными условиями для параболического уравнения с двумя независимыми переменными рассмотрены в работах [2; 3; 8]. Такого рода условия встречаются при изучении диффузии частиц в турбулентной плазме [2], в процессах распространения тепла в стержне, когда задана сумма тепловой энергии [3; 8]. Различные нелокальные задачи с интегральными краевыми условиями рассмотрены также в работах [1; 4-7].

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка с неклассическим граничным условием.

В области D = {(х, у): 0 < х < t, 0 < у < Щ рассмотрим уравнение

uxy У) = y,u(x, yX ux yX uy yX uxx yX uxy (x, y)X (1)

где: F - заданная функция.

Задача 1. Найти в D решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

J Т{х,у)и(х,y)dx = Е(у\\ U(L V) = Ф(у1 о < V (2)

и(х, 0) = г(х), 0 < х < i, (3)

где: T(x,y), E(y), ф(y), т(x), %(y) - заданные функции.

Решение задачи 1 будем искать в классе функций U = {u(x,y): u(x, y) е е С1 (D) u^, uxy е C(D),uщ е C(D)}. Сделаем следующие предположения относительно заданных функций:

1) Х{у\\ Е(у), ф{у) е Г&|0.//|. т(х) е ("¡О. С], 0 < z(y) < С ;

_ Х(у)

2) Т(х, v),Tv(х, v) е C(D), J (х-()Т(х, v)dx Ф 0 ;

^ СибАК

www.sibac.m1o

Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40), 2016г.

3) F(x,y,u,p,q,z,5) e C(DxR5) , max|F(x,y,u,p,q,z,s)| < H), R5 - пятимерное пространство переменных (u, p, q, z, s);
4)

\\F(x, y, u, p, q, z, s) — F(x,y, u, p, q, z, s)| <

< L u — u| +| p — p| + |q — q| + |z — z| + |s — s I)

5) J T(x, 0)r(x)dx = E(0) , r(0 = ф(0).

Нетрудно заметить, что задача (1) - (3) эквивалентна интегро-дифференциальному уравнению

i( x, y) = u0 (x, y) + j d^j T (x, 4)F (£,, ц, u, u^, uv , uirj )d-q + 0 0

+ j d^jT2(x,y,£)F(4,ц,u,u(,u4,u((,u(4)d^+ (4)

0 0

+J d4 J r3 (x, v, 4)F(4,77,м, и., U4 Л.., U(4 )drj,

m0(X,V) = ®(X,V) + (X- 0

E(y)~ j T(s,yWs,y)ds j (s-C)T(s,y)ds

0 JL 0

Ф(х, v) = r(x) + ф{у) - r&(0)(x - 0 - r( 0,

Tx( x,4) = x — 4,

T2(x,y,=(e-x) j (s-4)T(s,y)ds

J (s-()T(s,y)ds

r3(x.v.i)=i-i-(x-0 j (e-4)T(s,y)ds

| (s - t)T(s, v)ds

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что функция u(x,y), определяемая из (4) удовлетворяет уравнению (1). Полагая y = 0 в (4) и учитывая условия согласования 5) имеем, что и(х,0) = /ig(x,0) = r(x). Полагая х=£ в (4) и с учетом равенства Т2{(&,у,ч) = й,щ{(&,у) = ф{у) имеем, что и{С^у) = ф{у). И наконец.

0

^ Сийдк

Естественные и математические науки в современном мире №5 (40). 2016г._www.sibac.info

умножим на Т(х, у) обе части уравнения (4) и интегрируем полученное равенство от 0 до %(у). Тогда слагаемые, содержащие функцию Р, взаимно уничтожаются. Если учесть, что

| Т(х, у)и0 (х, у)ёх = Е(у), то в правой части равенства остается,

0

лишь Е(у). Тем самым доказывается выполнение первого условия (2). Найдя производные и, иу, иа, иху из (4) имеем

их(х,у) = и0х(х,у) + |Р(¡V,и,и(,и^,и^+

0 0

Х(. у ) у

+ I Т2х (х , У, (V, и, и^^ V и& Ц , и1;Л (5)

0 0

+1с) ь I Тъх (*- V, ь )Р(ь - V& и-- и г, - )<3&77-0 0

и у (х, у) = щ у (х, у) + | Т (х, ¡) Р (¡, у, и, и4, и у, ии ¡у +

0

+ I Т2(х,у,%)Р(%,у,и,и(,иу,ии4у+

+1 тз (X, К с )Р( с, V, м, и(, иу ,и„, и »„ )(}д, (6)

0

+ I Т2у (х, у, ¡) Р (¡, V, и, иил и^, +

0 0

, у, ¡)Р (¡, V, и, и4, или44, и^ёц,

0 0

ихх (х у) = и0хх ^ у) + | Р(x,V, и их , %, ихх , ихщ)ёЧ, (7)

0

Естественные и математические науки в современном мире www.sibac.mto_№ 5 (40), 2016г

и^(х,у) = и0ху(х,у) + | Р(4,у,и,Ы4,иу,и44,ы(у4 +

0

+ I Т2х(х,у, 4)Р(4,у,и,и4,иу,и и(у)Л4 +

0

^ 4 )Р(4 , ^ u, и4, иу, и44, и4у + (8)

0

+ I Л4Iт2ху (хy, 4)Р(4,V,u,и4, ил,и44, и4^4 + 0 0

+1с) 41 Т3*У П&Ч&Ч 4& и„ -и44 0 0

Введем вектор функцию g(x, у) = (ёг, g2, ё3, g4, gs), где ё = и(х У), g2 = их(х,у\\ёз = иу(х,у\\ g4 = ихх(хуХ §5 = иху(ху)

и оператор А = (А, А, А, А, А), компоненты которого определяется следующим образом

Аё = ёо, + I К1 Р ( 4, y, gl, g2, g3, g4, ё5)Л 4 + 0

+| К,2 Р (х,Л, ё^ §2 , ёз, §4 , +

0

+ I К,3 р (4, y, ё^ g2, g3, g4, Я5)Л4 +

+}К,А V.8„82,Яз(9) 0

+| ё 4 I Р (4,v, ё^ §2, ёз, g4, ё,№ + 0 0

+ I Л 4 I К6 Р (4,v, ё^ §2, ё^ g4, §5^4 +

00

Естественные и математические науки в современном мире № 5 (40), 2016г_

Здесь

Кл = 0, Ка = 0, Ка = 0, К14 = 0(1 = 12), К15 = Т(х,£), К16 = Т2(х,уЦ К17 = Т3( х, у,а К25 = 1, К26 = Т2х (х, у,£), Кг1 = = Т3х(х,у,аК31 = Т(х,?), К32 = 0,

К33 = Тг{х,у,£), Кзл = Тз(х,у,£), Кз5 = = 0, Кз6 = Тгу Кз7 = Тзух,у,£), К41 = 0, К42 = 1, К4з = 0, К44 = 0, К45 = = 0, К46 = 0, К47 = 0, К5! = I, К52 = 0,

К5з = Т2х (х, у,, К54 = Тзх (х, у,, К55 = = 0, К56 = Т2 у (х, у,£), К57 = Тзху (х, у,£),

§01 = и0(ху\\ §02 = и0х(ху1 §0з =

= и0у (х у1 §04 = и0хх (х у1 §05 = и0ху (X У)Тогда система уравнений (4)-(8) запишется в виде одного векторного уравнения

§ = А§ . (10)

Покажем, что для этого уравнения в области В имеет место принцип сжатых отображений. Пусть оператор А осуществляет

сжатое отображение шара 5 (§о,М) = |§ :||§ - §о||< М}, где М некоторое заданное число, в себя.

Норму § определим равенством |Ы| = тах тах I§ (х, у)\\. Пусть

11 11 1<1<5 (х, у)еВ 1

тах К < N . Для элементов §, принадлежащих шару 5 (§ ,М)

•=1,5, ]=1,7&

имеет место оценка <||+ М = К. Пусть § е 5 (§,М) . Тогда А§ е С (В) и, кроме того, для всех (х, у)е В справедливы неравенства | Д £ - g0i | < с/./ = 1.5, где ([ = N11 {3 С + 3 № + А). Отсюда следует, что ||А § - § 11 < д . Поэтому, если

д < М , (11)

^ Сийдк

www.sibac.info

^Г, СибАК

м&и&и \\sibacinto

Естественные и математические науки в современном мире _№ 5 (40). 2016г.

то Уё е (,M) имеем ||А ё - 1| < M. Следовательно Аё е 5 (,М) . Это означает, что при выполнении условия (11) оператор А отображает шар 5 (,М) в себя.

Пусть Уё(1), ё&2& е 5 (ё0,М). Тогда используя условия 4) из (9)

получаем \\А ,.£(1)-А ,ё&2)| < ¿|ё(1) -£(2)||, где ^ = ШС + ЗеИ + И).

Следовательно ||А ё(1) - Аё (2)|| < Л||ё(1) - ё (2)||. Отсюда заключаем, что если

Л < 1 (12)

то, оператор А в силу (11), (12) осуществляет сжатое отображение шара 5 (ё0,М) в себя. Тогда в силу теоремы С. Банаха в шаре

5 (ё0,М) существует и притом только одна неподвижная точка отображения, т.е. существует только одно решение уравнения (10).

Определив в шаре 5 (§ ,М) решение уравнения (10) методом

последовательных приближений, мы однозначно построим решение системы уравнений (4) - (8), и тем самым решение задачи 1.

Теорема. Если выполняются условия 1) - 5) и (11), (12), то задача 1 имеет единственное решение, принадлежащее классу и .

Список литературы:

1. Жестков С.В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Украинский математический журнал. - 1990. Т. 42, № 1. - С. 132-135.
2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим граничным условием // Дифференциальные уравнения. - 1977. Т. 13, № 2. - С. 294-304.
3. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журнал выч. матем. и матем. физики. - 1064, Т. 4. № 6. - С. 1006-1024.
4. Карсанова Ж.Т., Нахушева Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка // Владикавказский математический журнал. - 2002. Т. 4. Вып. 2. - С. 31-37.
5. Керефов А.А., Плотникова Е.В. Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка // Владикавказский математический журнал. - 2002. Т. 4. Вып. 2. - С. 51-60.

Естественные и математические науки в современном мире

№ 5 (40), 2016г_

6. Напсо А.Ф., Канчукоев В.З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения // Владикавказский математический журнал. - 2002. Т. 4. Вып. 2. - С. 44-49.
7. Пулькина Л.С., Климова Е.Н. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебаний струны // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. третьей всерос. научн. конф. Ч. З: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2006. - С. 192-195.
8. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. - 1963. T. 21, № 2. - P. 155-160.

^ СибАК

www.sibac.info

О ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Молдояров Уларбек Дуйшобекович

ст. преподаватель кафедры ИТАС, Ошский государственный университет, Кыргызская Республика, г. Ош, E-mail: ular_osh@list.ru

ABOUT THE CONJUGATION PROBLEM FOR PSEUDOPOROBOLIC THIRD ORDER EQUATION

Ularbek Moldoyarov

senior lecture, Chair of Information Technology and Automatization System Osh State University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Методом функции Грина и Римана доказана разрешимость задачи сопряжения для псевдопараболических уравнений третьего порядка, когда линия изменения типа уравнений является характеристической линией.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА boundary value problem НЕКЛАССИЧЕСКОЕ ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ non-classical boundary condition НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ nonlinear equation ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ contraction mapping principle ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ integral-differential equation