Научтруд
Войти

Основы методики работы с учебно-исследовательскими математическими задачами

Научный труд разместил:
Marcellovich
20 сентября 2020
Автор: Н. А. Меньшикова

Н. А. Меньшикова

ОСНОВЫ МЕТОДИКИ РАБОТЫ С УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИМИ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ЗАДАЧАМИ

В статье рассматриваются подходы к определению учебно-исследовательской математической задачи, на конкретных примерах обсуждаются особенности методики работы с ними.

Усвоение методологии научного поиска является одной из основных гуманитарных составляющих общего математического образования. Оно осуществляется в процессе учебно-исследовательской деятельности, основным содержанием которой является решение учебно-исследователь-ских математических задач и обмен полученными результатами.

Методика работы учителя математики по руководству учебно-исследовательской деятельностью учеников общеобразовательной школы включает в себя следующие компоненты:

- составление и использование специальных заданий, способствующих выявлению учащихся, склонных к такой деятельности;

- определение содержания учебно-исследовательской деятельности на уроках и во внеклассной работе;

- составление и реализацию программ этой деятельности для коллективной, групповой и индивидуальной форм с включением семинарских занятий и школьных научных конференций.

Тем самым, в общеобразовательной школе учебно-исследовательская деятельность встраивается в систему внеклассной работы по предмету. В процессе решения учебно-исследовательских математических задач происходит формирование готовности учащихся к научной деятельности и

осознанному выбору профессии с учетом потребностей общества. У них активизируется познавательный интерес, возрастают гибкость математического мышления, способности к логическим рассуждениям, обобщению получаемых на уроках знаний. На основе анализа научно-методической литературы можно выделить ряд подходов к определению учебно-исследовательской математической задачи. Первый подход рассматривается в рамках технологии развивающего обучения математике [1]. В ней под учебно-исследовательской математической задачей понимается задача, основным назначением которой является усвоение обобщенного способа действий [1. С. 62]. В ходе формирования у школьников обобщенного способа решения однотипных задач развивается теоретическое мышление (В.В. Давыдов), данный путь ученик проходит совместно с учителем. Назовем такую задачу учебно-исследовательской в узком смысле. Однако целостность методологических знаний учащихся не будет сформирована в полной мере, если трактовать понятие учебно-исследовательской задачи только в таком смысле. Для формирования целостных методологических знаний ученик должен быть включен в деятельность, подобную научной. В ней должны отражаться основные характеристические качества научного математического процесса:

индуктивность математического творчества, уникальность и современность проводимых исследований, информационный обмен [3]. С этой целью понятие учебно-исследова-тельской задачи целесообразно трактовать в соответствии с Д. Пойа [2, с.351]. Он выделяет три момента, характеризующие задачи «научно-исследовательского характера»:

■ Поскольку « для математика выбор задачи является, возможно, самым важным шагом... учитель действует так, чтобы учащиеся могли принять участие в постановке задачи.»

■ Это задачи с глубоким подтекстом, связанные с окружающей нас действительностью или другими областями мышления. Они порождают новые интересные задачи.

■ В этих задачах основную роль играют правдоподобные рассуждения (наблюдения, предположения, индуктивные умозаключения и пр.).

Д. Пойа отмечает важное значение таких задач для развития умения рассуждать, формирования умственной зрелости. Этот подход будем считать определением учебно-исследовательской математической задачи в широком смысле. Опираясь на эти подходы, будем рассматривать учебно-исследовательскую ма-тематическую задачу как многокомпонентное задание, представляющее собой укрупненную дидактическую единицу со следующими характеристиками:

■ ее совместное построение учениками и учителем на основе опорной (ключевой) задачи из основной учебной программы;

■ варьирование учителем уровня сложности, позволяющее

применять такие задачи для обеспечения дифференциации и индивидуализации обучения;

■ составление учениками общего плана исследования выбранного объекта, предусматривающего их самостоятельную деятельность по выявлению свойств и варьированию параметров объекта, сравнению его свойств со свойствами аналогичных объектов, выявлению внутрипредметных и межпредметных связей, формулировке результатов исследования и определению их приложений в процессе перехода от учебно-исследовательской задачи в узком смысле к задаче в широком смысле;

■ совместный поиск рациональной организации вычислений, необходимых для решения задачи, в том числе с помощью вычислительной техники.

В процессе решения учебно-исследовательских задач у учащихся происходит формирование умений:

- производить наблюдения математических объектов и сравнивать результаты;

- выполнять анализ наблюдаемых фактов и синтезировать на основе наблюдений и анализа новые умозаключения;

- проводить математический эксперимент (выполнять вычисления, построения, измерения, моделировать объекты);

- использовать неполную индукцию

и аналогию для выдвижения гипотез и проверять их истинность;

- проводить дедуктивные рассуждения;

- обобщать полученные факты. В этом процессе методологические знания выступают и как предмет усвоения, и как основа развития творческого мышления.

При работе с учебно-исследовательскими задачами особое внимание уделяется формированию умений составления и обобщения задач, конструирования и решения многокомпонентных задач межпредметного характера. Так, использование приема введения параметра позволяет обобщать ключевые задачи учебной программы и создавать на их основе блоки задач различного уровня сложности как по алгебре, так и по геометрии. Рассмотрим на примерах, как можно от ключевых задач школьной программы перейти к учебно-исследовательским задачам в узком смысле, а от них к задачам в широком смысле. Наиболее наглядно этот переход просматривается на геометрических задачах. Задача 1 (тема «Подобие фигур»). Опорная задача.

а) В параллелограмме АВСД точки М и К - середины сторон АВ и АД. В каком отношении отрезок МК разделяет диагональ АС ? (рис.1).

Используя свойства диагоналей параллелограмма и средней линии треугольника, ученики приходят к выводу: АР= АС/4.

б) Усложним задачу: пусть М и К делят стороны АВ и АД параллелограмма АВСД в неодинаковом соотношении. Для определенности выберем АМ = АВ/3, АК = АД/4. Требование задачи оставим прежним. Для решения этой задачи выполняются дополнительные построения и рассматриваются пары подобных треугольников АМК и ВМЕ, АРК и СРЕ (рис.2). Получим ВЕ = 2АК = АД/2; следовательно, ЕС = 3/2 АД, АР:РС = = АК:СЕ, отсюда АР:РС = 1:6, а АР:АС = 1:7.

Учебно-исследовательская задача в узком смысле.

в) Для выявления обобщенного способа действий введем буквенные

обозначения: пусть АМ = аАВ, АК =

РАД, АР = кАС.

Рис.1

Подводим учащихся к постановке вопроса: как зависит к от выбора а и в? Выявленный обобщенный способ действий заключается в использовании дополнительных построений и признаков подобия треугольников для вспомогательной промежуточной пары Д(АМК) и Д(ВМЕ) и основной пары д(АРК) и Д(СРЕ).

Решение. Используем рис.2. Имеем: АМ = а АВ; МВ = (1-а ) АВ; Из подобия Д(АМК) и Д(ВМЕ): АМ/МВ = АК/ВЕ; тогда ВЕ = МВ*АК/АМ= ((1-а)*Р)*АД/а; Д(АРК) и Д(СРЕ) подобны. ЕВ С

Рис.2

СЕ = ВС+ВЕ = АД+ВЕ = АД+(((1 - а)* в)*АД / а) =((а + в - ав)*АД) / а ; Из подобия следуют пропорции: АР/РС = АК/СЕ = ав/(а + в - ав); АР/АС = АР/(АР+РС) = ав/(а + в); следовательно, к = ав/(а + в). Найденные ранее значения к соответствуют общей формуле. Выявленный общий способ действий привел к результату в виде формулы. В узком смысле учебно-исследовательская задача решена. Однако в широком смысле учебное исследование целесообразно продолжить, рассмотрев эту задачу как порождающую новые интересные задачи , которые ученики

могут сформулировать самостоятельно или при помощи учителя, например:

а) как изменится выражение для к, если одна из точек (М или К) будет располагаться на продолжении соответствующей стороны?

б) в каком отношении отрезок МК поделит площадь параллелограмма АВСД?

в) можно ли похожую задачу сформулировать для трапеции? И т.п. Задача 2 (тема «Подобные треугольники»)

Опорная задача.

а) На стороне ВС ДАВС взята точка Е так, что ВЕ:ЕС = 2:1.

В каком отношении медиана СМ делит отрезок АЕ? (см. рис.3). Решение. Пусть АЕ и СМ пересекаются в точке Р. Будем искать отношение АР: РЕ. Используем дополнительное построение. Проведем МКЦаЕ; точка К принадлежит ВС. В Д(АВЕ) отрезок МК служит средней линией, следовательно, МК = (1/2)*АЕ, ВК = КЕ. С учетом условия задачи получим ВК=КЕ=ЕС. Треугольники ДСМК и ДСРЕ подобны; отсюда МК:РЕ = КС:ЕС. Но АЕ = 2МК, значит АЕ = 4*РЕ, то есть АР: РЕ = 3:1. Формирование обобщенного способа действий

Анализируя процесс решения задачи, заключаем, что при изменении положения точки Е на стороне ВС отношение отрезков АР: РЕ можно вычислить тем же способом, выполняя дополнительное построение отрезка МКЦАЕ. Для формирования обобщенного способа действий вводим параметр к.

б) На стороне ВС треугольника АВС взята точка Е так, что ВЕ:ЕС = к.

В каком отношении медиана СМ делит отрезок АЕ?

Решение. Используем такой же план, как и при решении опорной задачи. Без нарушения общности можно использовать тот же чертеж. Так как ВЕ:ЕС = к, то ВС = (1 + к) ЕС, ВЕ = к/(1 + к) ВС, ЕС = 1/(1 + к) ВС. Рис. 3.

Рассуждая аналогично, получим ВК=КЕ= к/ 2(1+ к) ВС, АЕ = (к+2)РЕ, откуда АР:РЕ = к+1. Параметр к можно было ввести и по-другому, если рассмотреть СЕ= к СВ. Этот способ учащиеся реализуют полностью сами в классе или как домашнее задание.

Переход к учебно-исследовательской задаче в широком смысле осуществляется самими учениками постановкой и решением новых задач. Задача 3 (тема «Теорема косинусов») Опорная задача.

а) Выразите длину каждой медианы треугольника, если заданы длины а, в, с всех его сторон.

б)На стороне АС Д(АВС) задана точка Р так, что АР = 1/3 АС.

Представьте длину отрезка РВ через длины сторон Д(АВС).

в) Для выявления обобщенного способа действий введите параметр к.

Пусть АР = кАС. Проведите аналогичные рассуждения и выведите формулу зависимости длины отрезка РВ от длин сторон треугольника и величины к.

г) Составьте новые задачи на основе решенной, например:

- о длине биссектрисы угла треугольника;

- рассмотрев точку Р на продолжении стороны треугольника;

- установив связь рассмотренного способа решения с векторным и т. п.

Задача 4. (тема «Площадь треугольника»). Опорная задача.

На сторонах АВ, ВС, СА Д(АВС) взяты соответственно точки P, Q, R так, что АР = (1/3) АВ, ВQ = (1/3) ВС, СR = (1/3)

СА. AQ пересекает ВR в точке М, BR пересекает СР в точке К, СР пересекает АQ в точке К. Найти отношение площадей Д(КМК) и Д(АВС). Решение Проведем отрезки РР1, КК1, QQ1 параллельно ВR, чтобы можно было применить теорему Фалеса и свойства площади (точки Р1, К1, Q1 принадлежат АС) (см.рис.4). Рассмотрим Д(BRC): по теореме Фалеса BQ:QC = RQl:QlC, тогда RQl = 1/3; RC = (1/9) А^ Ql C = (2/9)АС; AQl = (7/9) AC .

По теореме Фалеса для треугольника АQQ1 имеем пропорцию АМ:МQ = АВ^1, тогда АМ:МQ = 6, АМ = 6/7 АQ.

Используя свойства площади, получим, что Б[Д(АВМ)] = (6/7)S[Д(ABQ)], а Б[Д(АВМ)] составляет (2/7^[Д(АВС)]. Аналогично доказываем, что площадь треугольников АКС и ВNC составляет (2/7) S[Д(АВС)]. Следовательно, площадь Д(КМК) составляет 1/7 часть площади основного Д(АВС).

Рис.4.

По такому же плану можно решить задачу, когда на сторонах Д(АВС) взять отрезки АР, BQ и CR, составляющие ХА часть соответствующей стороны. В этом случае ответ получается 4:13. Дальнейшая деятельность состоит в обобщении этой задачи и получении общей формулы для АР = (1/n) АВ, BQ = (1/n) ВС, CR = (1/n) СА в виде

SA(KMN) _ (n - 2)2 SA(ABC) _ n2 - n +1 Рассмотренный обобщенный способ действий может послужить основой для построения индивидуальной учебноисследо-вательской задачи более высокого уровня сложности, что и было осуществлено учениками 8 класса математической школы № 33 г. Ярославля под совместным руководством учителя школы М.С. Смирновой и преподавателя педагогического университета А.В. Ястребова. Его результаты были представлены на городской конференции школьников в 1997 г. и заслужили диплом первой степени.

Важной частью учебно-иследова-тельской математической деятельности является самостоятельное составление задач, конструирование математических объектов. Наглядно это можно проиллюстрировать на примере темы девятого класса «Множества точек на координатной плоскости». Изучив координатный способ задания прямой и окружности, учащиеся могут исследовать не только их взаимное расположение на плоскости, но и взаимное расположение этих линий с графиками известных функций: параболой и гиперболой. Варьируя коэффициенты квадратного трехчлена и обратной пропорциональности, комбинируя объекты, можно получить большое количество вариантов заданий, обеспечив персонификацию заданий и усвоение обобщенного способа действий каждым учащимся. Следующим этапом работы по теме является графическое решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными на координатной плоскости. В этом процессе происходит закрепление внутрипредметных связей уже изученных разделов школьного курса математики. Проведенная работа позволяет показать учащимся многовариантность предлагаемых для изучения объектов и поставить перед ними творческое задание: самостоятельно сконструировать произвольное множество точек,

используя все известные геометрические образы. Неоднократный практический опыт проведения такой работы автором статьи на занятиях факультатива показал большую заинтересованность учащихся. Многие из них сконструировали объекты, аналогичные ранее разобранным примерам, а примерно 10% учеников предложили нестандартное решение. Важной составной частью учебно-исследовательской математической деятельности является информационный обмен. В качестве примера приведем план проведения семинарского занятия на факультативе по теме «Многогранники». Обсуждаемой проблемой являлось взаимное расположение избранных правильных многогранников и сферы. Факультативная группа была разделена на три подгруппы, каждая из них получила свою учебно-исследовательскую задачу и свой объект исследования: куб, правильный тетраэдр, правильный октаэдр. Участники подгруппы изучали существование вписанной и описанной сфер, сферы, касающейся всех ребер многогранника, выводили формулы, выражающие зависимость радиуса соответствующей сферы от длины ребра многогранника. Результаты решенных задач предъявлялись в форме доклада участников каждой подгруппы. В конце семинара учащимися были сделаны общие выводы о теоретических и методологических знаниях, приобретенных ими в ходе семинара. IV

Активное участие в групповой учебно-исследовательской деятельности позволяет ученикам переходить к индивидуальным учебным исследованиям, которые являются наивысшей формой учебно-исследовательской математической деятельности в школе. Ее результаты являются базой для организации

школьных научных конференций. Само же учебное исследование фактически проявляет себя как обобщенная УДЕ, отличающаяся от классической УДЕ П. М. Эрдниев плановым распределением времени исполнения деятельности учащихся, более разнообразной структурой в виде цепочки (В. А. Гусев) или пучка (О. А. Иванов). Итак, методика работы учителя с учебно-исследовательскими математическими задачами как один из компонентов методики руководства учебно-исследова-тельской математической деятельностью:

1. Отбор тематики учебно-исследовательских задач основан на использовании, в первую очередь, ключевых задач основной программы. Именно из них создаются задачи «с глубоким подтекстом», порождающие цепочки, пучки, блоки новых задач.
2. Содержание учебно-исследовательских математических задач часто имеет межпредметный характер (алгебра и геометрия, математика и физика, математика и информатика и т.п.)
3. Учебно-исследовательские математические задачи имеют различный уровень сложности в соответствии с дидактическим принципом перехода от коллективной формы деятельности к групповой, а от нее — к индивидуальной.
4. Темы задач для индивидуальной (а частично и для групповой) деятельности предлагаются учащимся на выбор из нескольких.
5. В ходе занятий с учащимися учитель выступает как руководитель процесса постановки и решения учебно-исследова-тельских задач, который может начаться на уроке, а продолжиться в различных формах внеурочной деятельности. Так осуществляется взаимосвязь с организационным и воспитательным аспектами руководства учебно-исследовательской математической

деятельностью учащихся средней школы в целом.

Литература

1. Основы технологии развивающего обучения математике: Учебное пособие. Н. Новгород: НГПУ, 1997. 134 с.
2. Пойа Д. Математическое открытие: Пер. с англ. М.: Наука, 1970. 452 с.
3. Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс — параллели и взаимосвязи: Монография. Ярославль: ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, 1997. 137 с.
Другие работы в данной теме: