Научтруд
Войти
Категория: Математика

ОСЦИЛЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С КОНЕЧНЫМИ РАЗНОСТЯМИ P-ПРОИЗВОЛЬНОГО НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКОВ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ

Научный труд разместил:
Mamant
11 сентября 2020
Автор: Темиров Бекжан Кайыпбекович

5. Казаков А.Я. Обратные задачи линейной теории переноса излучения в плоской среде. - ДАН СССР, 1983, 270, № 5. - С. 1100-1103.

6. Максвелл Дж. Основатели кинетической теории материи. - М: - Л., ОНТИ, 1937, С. 201.
7. Омуров Т.Д., Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи односкоростной теории переноса. - Бишкек: Илим, 2010. - 116 с.
8. Смелов В.Б. Лекции по теории переноса нейтронов. - М.: Атомиздат, 1978. - 216 с.
9. Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи для многоскоростных уравнений типа Каца - Больцмана. - Бишкек, 2011. - 122 с.
10. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. - Москва: Атомиздат, 1973. - 375 с.
11. Frosali, van der Mee, Paveri-Fontana, Conditions for runaway phenomena in the kinetic theory of particle swams // Journal Math. Phys., - 1989. - Vol. 30. -№ 5, - Р. 1177-1186.
12. Maxwell J.C., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. 1864 Р. 526-597.

ОСЦИЛЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С КОНЕЧНЫМИ РАЗНОСТЯМИ Р-ПРОИЗВОЛЬНОГО НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКОВ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ

Темиров Бекжан Кайыпбекович

д-р физ.-мат. наук,

Кыргызского Национального Университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек Е-шаИ: bekjant@mail.ru

Бараталиев Керим Бараталиевич

д-р физ.-мат. наук,

Кыргызского Национального Университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек

Сапарова Айнура Батыралиевна

ст. преподаватель

Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,

Кыргызская Республика, г. Бишкек

OSCILLATION OF SOLUTIONS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL - DIFFERENCE EQUATIONS WITH THE FINITE-DIFFERENCE P - ARBITRARY ODD ORDER WITH ELLIPTIC OPERATORS

Bekzhan Temirov

doctor of science, Kyrgyz national university named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek

Kerim Barataliev

doctor of science, Kyrgyz national university named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek

Ainura Saparova

post-graduate student of Kyrgyz national university named after J. Balasagyn, Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В статье установлены достаточные условия осцилляции решений нелинейного дифференциально-разностного уравнения с конечными разностями произвольного нечетного порядка с эллиптическим оператором. Такие уравнения широко применяются в науке и технике при описании реальных процессов систем, в частности, электрических, механических, биологических, демографических, экономических и других. А также для решения некоторых теоретических вопросов с применением ЭВМ для приближенного решения различных задач математической физики.

ABSTRACT

The article established sufficient conditions for the oscillation of solutions of nonlinear differential-difference equations with finite differences of arbitrary odd order elliptic operator. Such equations are widely used in science and technology for describing systems of actual processes, in particular electrical, mechanical, biological, demographic, economic and others. And also to solve some theoretical problems with the use of computers for the approximate solution of various problems of mathematical physics.

Введение.

Быков Я.В. изучил осцилляционные свойства решений различных классов линейных, нелинейных, интегро -разностных и интегро-дифференциально-разностных уравнений с конечными разностями первого порядка. С Я.В. Быковым и Б.К. Темировым ранее были установлены достаточные условия осциллируемости решений операторно-разностных уравнений с конечными разностями второго, четвертого и произвольного ш-четного порядков.

Вопрос осцилляции решений уравнений нелинейных дифференциально-разностных уравнений с конечными разностями ш-нечетного порядков с с эллиптическим оператором ранее не изучался.

В данной статье устанавливается достаточное условие осцилляции решений нелинейного дифференциально-разностного уравнения с конечными разностями р -произвольного нечетного порядков с эллиптическим оператором. Рассмотрим уравнения вида

г т m Я и(п, x) t ->

L [u(n, x)\\ + a(n) ^ A к(x) ^ -+ A (n, x)U(n, x) + f [n, xU(n, x)\\ = 0

i, r=1 сЦ Cxk

где: р - произвольное нечетное число. Введем обозначения:

Ь, [и(п.х)] = Аи(п, х) = и(п + 1, х) - и(п, х) Щ (п) = Р1{п)Ь [и(п, х)] Ь2 [и(п, х)] = А Щ3 (п) = Р3(п)Ц [и(п, х)] Ц[и(п,х)] = АЩт-1(п).

В уравнении (1) Ьр[и(п, х)] рассмотрена когда Рт_х (п) = 1 > 0 Уп > п0 как заданные функции. В дальнейшем будем исходить из определений данной в работе [1].

Определение 1. Всякую функцию С/(н,х), определенную

в области /)0 = {и >п0,х<еО} называют правильной.

Определение 2. Правильную функцию и (п, х) называют положительной {отрицательной}, если Зп > п такое, что У(п, х) е Д = {п > п, х е 0} и(п, х) > 0{и(п, х) < 0}

Определение 3. Правильную функцию и(п, х) называют С -неосциллирующей, если она либо не положительна, либо не отрицательно. В противном случае ее называют С - осциллирующей.

Всюду предполагается: 1) вс^т - открытая ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г=^; 2) ^натуральное число; 3) х=(х,Х, — ,хт) е Q; 4) А (п,х)_ непрерывные функции по х е 0 для каждого фиксированного натурального числа п > п0 ; 5) а(п)- заданная

функция натурального аргумента. 6) Ь°0 = X- - эллиптический

1, к=1 дх1 дхк

оператор и предполагается, что а) для любого набора вещественных

чисел . X А (х)£ >мЕ^2,М> 0, ] = 1,ш

6) А (х)=Аи (х)- достаточно гладкие функции (т. е. достаточно предполагать, чтобы эти функции имели частные производные второго порядка, удовлетворяющие в замкнутой области 0 некоторому условию Гельдера).
7) У(п,х) е Б0={п > п,х е 0} и А(п, х, г) > 0, А(п, х, -г) > 0 Осцилляция решений нелинейного дифференциально разностного уравнения с конечными разностями различного порядка исследованы: 1го порядка в [1], 2го, 4го и произвольного четного порядков в [3] и 3го, 5го порядков в [5; 6]. c эллиптическими операторами. Известно [4], что все собственные значения краевой задачи

Ь°0 У(х)+Л,У(х)=0 , У(х)| г =0 (2)

положительны, наименьшему собственному значению соответствует единственная нормированная собственная функция (р(х) > 0, (Нормированная в смысле |р(х^х=1). Если область

0={ак<хк<Ък,к=(1,ш) }- параллелепипед, то

к=ЛЬк~ак) к=1 Ьк — ак

^ ^ ^ я1 Л т

Если р - выпуклая область, то Я0 > — (---) где р- радиус

4 р (}

наибольшего шара, вписанного в область р. й- диаметр область Р: т - размерность область р. Приведем следствие формулы Грина.

Следствие 1. Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции

Цп,х) е (К) (Символ Ц(п,х) е (Ы) означает, что Ц(п,х) | г = 0 Уп > п0 ) выполняется

jp(х) 1?0и(п, х)ёх = jp(х)и(п, х)ёх Уп > п0

Следствие 2. Для всякой не отрицательной дважды непрерывно дифференцируемой функции Ц(п,х)

|^>(х)£00и(п, x)dx > — \\ |^(х)и(п, х)ах Уп > п

Теорема Иенсена. Пусть 1) 1^) - непрерывная выпуклая на (0, да) функция (дважды дифференцируемая на (0, да)), функция Дх) является выпуклой на этом интервале тогда и только тогда, когда 1) Г "(х) > 0 У х е (0,да); 2) Ф(х) непрерывная положительная функция, непрерывная по переменным группы х. Тогда имеет место неравенство

|^(х)/|и(п, х)]ах > / (| (р(х)и (п, x)dx}

Это соотношение называют неравенство Иенсена. Доказательство теоремы приведены в работе [2].

Лемма 1. Пусть 1) ^ а(з)=<х>, 2) ф(г) - неубывающая функция

Уг > 0

3) р-четное число. Тогда неравенством

Естественные и математические науки в современном мире

№_5 (40), 2016г_mvw.sibac.infо

Ь [ст(п)]+а(пМст(п)] < 0 (3)

не имеет положительного решения. у(п)=|ст(п)|. Доказательство. Допустим, что неравенство (3) имеет положительное решение, ст(п),Уп > п Тогда А№ (п) < 0, поэтому

Ш (п) -незрастающая функция. Следовательно, логически возможны

только следующие допущения: 1) либо Зп2 > п такое, что

(п2) = с < 0;; 2) либо Ш (п) > 0 Уп > п Рассмотрим первый

случай. Докажем, что это предположение противоречит неравенству а(п) > 0 Уп > п . Отсюда

(п) = Р (п)АЩ^ (п) < с < 0 Уп > п

Щр-1 (п) < Щр- 1(п2) + с £ Цр (X) ^ -да при п ^да

Отсюда следует, что Зц <0, Зп3 > п2 такие, что (п) < с < 0 Уп > п . Продолжая рассуждать аналогично почти также как и выше получим, что Зс0 <0, Зп1 > п0 что

Щ (п) < с < 0 Уп > п1 , р (п)Аа(п) < с0 < 0 Уп > п1 Аа(п) < с0ц2(п)

Далее суммируя это неравенство от п1 до п — 1, получили

<у(п) <а(п1) + с ^ Ц2 (X) ^--да при п ^да Это соотношение

противоречить неравенству <г(п) > 0 Уп > п

Поэтому, первое предположение несостоятельны. Рассмотрим, второй случай

Щр (п) = Рр (п)АЩр-! (п) > 0 Уп > п1

Щ ! (п) -неубывающая функция Уп > п . Тогда логически возможны только следующие допущения:

1) либо Зп2 > ^ такое, что (п2) = с > 0
2) либо (п) < 0 Уп > п

Рассмотрим первый случай либо (п) = р_2 (и)АЩ_2 (п) = с > 0

Уп > п,

Щр-2 (п) > Щр-2(«2) + с £ ?я-1 (X) ^ -да при п ^да

Следовательно, Зс > 0, Зп3 > п2 такие, что Щ 2 (п) > с Уп > п2. Продолжая такие же рассуждения, получим, что Зс0 > 0, Зп0 > п0 такие, что Щ (п) = Р2 (п)Аа(п) > с0 Тогда <т(п) > <т(п0) = у С учетом этого неравенства из (3) имеем

Щ (п) + а(п)Р < 0 Уп > п, /Зф(у)

Учитывая следующее неравенство Щ (п) > 0 Уп > п получим, что последнее неравенство противоречит условию г леммы, поэтому, верно предположение

1) противоречит условиям леммы. Поэтому, верно предположение что Щ_2 (п) < 0 Уп > п

Щр-1 (п) = Рр-1 (п)А Щр-2 (п) < 0 Уп > п .

Щ-2 («) - невозрастающая функция Уп > п. Логически возможны только следующие предположения: 1) либо Зп2 > ^ такое, что Щ 2 (п) = с < 0 Уп > п

2) либо Щ_2 (п) > 0 Уп > п Первое предположение противоречит неравенству, что ст(п) > 0 Уп > п Следовательно, Щ_2 (п) > 0 Уп > п . Производя аналогичные рассуждения получим, что Щ (п) > 0 Уп > п . Отсюда вытекает, что ст(и) > а(пх) = с0 > 0 с учетом этого неравенства из неравенств (2) имеем АЩ (п) + са(п) < 0 с=? Уп > п

Суммируя неравенство от ц до n -1 получим

W (n) + с X a(m) <Wp (ц) Vn > n • Так как W (n) > 0 , то усиливая

неравенство получим c ^ a(m) <Wp (ц), которое противоречит

условию 1) леммы.

Замечание 1. Если выполнены условия 2), 3) леммы 1, а условия

1) не выполнены, то неравенство (3) может иметь положительное решение.

Замечание 2. Если 1) выполнены условия 1), 3) леммы 1;

2) p-нечетное число, то неравенство (3) может иметь положительное решение.

Лемма 2. Если 1) ^ a(p) = да;2)^(z) > 0 непрерывная неубывающая функция Vz > 0;

3) p - нечетное число, то для положительного решения ст(п) неравенства (3) имеет место равенство lim ст(п)=0.

Доказательство. Предположим, что неравенство (3) имеет положительное решение

ст(п) > 0 Vn > п. Рассуждая почти также, как и при доказательстве леммы 1, показывается, что Vn > n , W (п) > 0 1)ст(п) невозрастающая функция Vn > п 2) 3 lim cr(n)=c > 0. Допустим, что с^0. Тогда Vn > п Ф[о"(п)] >ф(с) = с0 > 0 С учетом этого, из неравенства (3) имеем AW(n) + c0a(n) < 0 Vn > n . Так как W (n) > 0 Vn > п то это неравенство противоречит условию 1) леммы 2. Следовательно, предположение с^0 приводит к противоречию. Поэтому lim ст(п)=0.

га^да

Скажем, что выполнено 1) условие (Е)если

V(n,х,y) е D\\ = {n > n0,x e Q,y e Q}.Al(n,x) > a(n) > 0,

2) условие (T) если V(n,x) e D0 и Vz>0

f (n, x) > g0 (n)z, f (n, x, -z) < -g(n)z, g0 (n) > 0

3) условие (T) если V(n,x) e D0 и Vz>0

f (n, x, z) > g(n^(z); f (n, x, -z) < -g(n^(z), g0(n) > 0,ф(z).

Теорема 1. Пусть 1) выполнены условия (Е), (T);

2) ^ g0 (n)np~2 = да, тогда каждое решение U(n,x) е (N) уравнения (1) либо осциллирует, либо lim y(n)=0.

n—^да

Доказательство. Допустим, что уравнение (1) имеет с-неосциллирующее решение U(n,x) е (N). Тогда неравенство

Apy(n) + g (n) y(n) < 0 имеет положительное решение y(n) = |ст(п),|

что противоречит теореме 1 из [5] и леммы 2. Следовательно, предположение существования С- неосциллирующего решения U(n,x) е (N) уравнения (1) приводят к противоречию. Поэтому либо

решение С-осциллирует, либо lim y(n)=0.

n—да

Теорема 2. Пусть 1)выполнены условия (Е), (T);

2) / [(z)] > C = const > 0, Vz > 0; 3)^ g(p) = да. Тогда каждое

решение U(n,x) е (N) уравнения (1) либо с- осциллирует, либо lim y(n)=0.

n—да

Доказательство. Предположим, что уравнение (1) имеет с- неосциллирующее решение U(n,x) е (N) .Тогда неравенство

Ap y(n) + c0(n) < 0 имеет положительное решение y(n).

Это утверждение противоречит условию 3) теоремы 2. Следовательно, предположение существования с - неосциллирующего решения U(n,x) е (N) уравнения (1) приводит к противоречию, поэтому решение либо с - осциллирует, либо lim y(n)=0.

n—да

Теорема 3. Пусть а) выполнены все условия теоремы 2) a(n)>0 Vn > n0 Тогда все правильные решения U(n,x) уравнения (1) либо с -осциллирует, либо lim y(n)=0.

n—да

Теорема 4. Пусть1) выполнены условия (Е), (T2); 2) ^(z) да

возрастающая непрерывная выпуклая на (0,®) функция; 3) ^ g (S) =да.. Тогда каждое решение U(n,x) е (N) уравнения (1) либо

с-осциллирует, либо lim >>(n)=0. Доказательство приводится

аналогично к доказательству теоремы 3.

Теорема 5. Если а) выполнены все условия теоремы 4. b) a(n)>0

Vn > n0, то все решения U(n,x) уравнения (1) либо осциллирует, либо

lim >>(n)=0.

Список литературы:

1. Быков Я.В. Осцилляция решений операторно-разностных уравнений с конечными разностями первого порядка. - Фрунзе: Илим, 1985 - 263 с.
2. Быков Я.В., Темиров Б.К. Осцилляция решений операторно-разностных уравнений с конечными разностями второго, четвертого и произвольного четного порядков. - Фрунзе: Илим, 1990, - 124 с.
3. Быков Я.В., Мерзлякова Г.Д., Шевцов Е.И. Об осцилляторности решений нелинейных разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1975. - Т. 2, № 8. - C. 1460-1473.
4. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: ГИФМЛ, 1962.
5. Темиров Б.К. Осцилляция решений нелинейного интегро-разностного уравнения с конечными разностями третьего порядка // Труды межд. конференции «Программные системы: теория и приложения» института программных систем РАН г. Переелавль-Залесский. 2006. С. 379-387.
6. Шарифова Т. О колеблемости решений некоторых разностных уравнений // Вопросы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент, 1974. -Вып. 23. - С. 35-43.
ОСЦИЛЛЯЦИЯ oscillation НЕЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ nonlinear differential-difference НЕРАВЕНСТВО ИЕНСЕНА jensen''s inequality