Научтруд
Войти
Категория: Математика

КВАЗИТЕНЗОР КРИВИЗНЫ-КРУЧЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНО-ГРУППОВОЙ СВЯЗНОСТИ ЛАПТЕВА

Научный труд разместил:
Veniamin
11 сентября 2020
Автор: Шевченко Ю. И.

УДК 514.76

Ю.И. Шевченко]

1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия ESkrydlova@kantiana.ru doi: 10.5922/032|Г4796-2020-51-17

Квазитензор кривизны-кручения фундаментально-групповой связности Лаптева

Рассмотрено пространство с фундаментально-групповой связностью Лаптева, обобщающее пространства со связностями Картана. Структурные уравнения Лаптева приведены к более простому виду. Продолжение приведенных структурных уравнений позволило найти дифференциальные сравнения для коэффициентов в этих уравнениях. Доказано, что одна часть этих коэффициентов образует тензор, а другая часть — квазитензор, что обосновывает название «квазитензор кривизны-кручения» для всей совокупности. Из дифференциальных сравнений для компонент этого квазитензора получены сравнения для компонент тензора кривизны-кручения Лаптева, который содержит 9 подтензоров, входящих в неприведенные структурные уравнения.

В двух особых случаях пространство с фундаментально-групповой связностью является пространством со связностью Картана, обладающим квазитензором кривизны-кручения, который содержит квазитензор кручения. В редуктивном случае пространство картано-вой связности превращается в такое главное расслоение со связностью, которое имеет не только тензор кривизны, но и тензор кручения.

Поступила в редакцию 27.04.2020 г. © Шевченко Ю. И., 2020

1. Преобразование структурных уравнений Лаптева

Понятие связности Картана используется в трех смыслах: 1) главная связность — связность в главном расслоении; 2) неглавная связность, например, классическая проективная связность; 3) общая связность — объединяющая оба предыдущих случая. Рассмотрим фундаментально-групповую связность Лаптева, которая включает общую связность Картана. Запишем структурные уравнения пространства фундаментально-групповой связности [4, с. 311, 316, 339, 342] в подробном виде:

Сю*0 = Я*0 юРо люд° + 2ЯР юРо лю91 + Я*0 юР1 л©91, (1)

РоЧо РоЧ\\ Р\\Ч\\

С1 = С"1 юР1 л© + 2С*1 © лю92 +

+ Я"1 юРо люч° + 2ЯЧ юРо лю91 + Я4 юР1 лю91,

Ро9о Ро91 Р191 &

Сю*2 = С2а юР2 лю92 + 2С2 юР1 лю92 + С2 юР1 лю91 +

Р292 Р192 Р1У1

+ Я 2п юРо лю90 + 2Я 2п юРо лю91 + Я*2 юР1 лю41,

Р0У0 РоУ1 Р1У1

где индексы принимают следующие значения:

*0,... = -т +1,0; *1,... = 1,п; *2,... = п +1,п + г;

*01,... = - т +1,п; *12,... = 1,п + г; *012,... = - т +1,п + г.

Здесь С^2 — постоянные (п + г)-мерной группы Ли

Оп+г, содержащей г-членную подгруппу Нг. Они антисимметричны и удовлетворяют тождествам Якоби, причем часть постоянных равна нулю:

с*12 = о, с- СР12} = о, с* = о, (4) (Р12^12) 1 Р12 {912 г12г12} 1 Р2^2

где круглые скобки обозначают симметрирование, а фигурные скобки — циклирование. Коэффициенты ЯР^ , удовлетворяющие условию антисимметрии Яр^) = 0, образуют тензор кривизны кручения [4, ^ 339, 340, 342]. Если тензор кривизны-кручения Я = {Яр^и } обращается в нуль, то уравнение (1)

принимает вид йс&0 = 0, а уравнения (2, 3) превратятся в структурные уравнения группы Оп+г с подгруппой Нг (ср. [1, а 320]), иначе говоря, в уравнения главного расслоения Н г (Еп) с базой — однородным пространством Еп = Оп+г / Нг и типовым слоем

Обозначим пространство фундаментально-групповой связности Лаптева через Ьтпг. Система уравнений с/01 = 0 вполне интегрируема, поэтому пространство Ьт п г имеет базу — (т + п)-мерное многообразие Ут+п со структурными уравнениями (1, 2). Уравнения (1—3) пространства Ьт п г показывают, что оно есть главное расслоение Нг (Ут+п) над многообразием Ут+п с типовым слоем Нг. Если выполняется условие

редуктивности (см., напр., [1, с. 176; 2, с. 357; 6, а 456])

то расслоение Нг(Ут+п) становится пространством с главной

связностью Нг, т+ п .

Замечание 1. Для подмножеств форм связности с&012 можно использовать следующие названия (названия Лаптева [4, ^ 305, 306] приведены в скобках):

с&0 — чисто базисные (побочные) формы, с&1 — базисно-слоевые (главные) формы, С2 — чисто слоевые (вторичные) формы, с&01 — базисные (первичные) формы, с&12 — слоевые (специализированные) формы.

Структурные уравнения (2, 3) запишем короче:

С = 2С* юР1 лю92 + ЯРа юРо лю90 + Р1^2 Р090

+ 2Я*19 юРо лю91 + К*1а юР1 л ю91,

Ро91 Р191

Сю*2 = С"2 юР2 лю92 + 2С°2 юР1 лю92 + Р292 Р192

+ ЯР юРо лю90 + 2Я°2 юРо лю91 + К"2 юР1 л

Ро9о Ро91 Р191

К*1 = Я*1 + С*1 К*2 = Я*2 + С*2 (8)

РА РА РА& РА РА РА & у &

Назовем К = (Я*0 , Я"12 , К"12 } преобразованным объР01901 Р0901 Р191

ектом кривизны-кручения. Найдем дифференциальные сравнения, которым удовлетворяют компоненты объекта К.

2. Побочный тензор кручения

Дифференцируя уравнения (1) внешним образом и используя уравнения (6), получим уравнения следующего вида:

юРо лю90 л ^о + (...)*Ро^01 +

+ 2юРо лю91 л [СЯР091 - + (...Г^У1] +

+ юР1 лю91 л [Ж^ - Я1ю1 - яю + (...^ю = 0

ю1= 2С12юг2. (9)

Для справедливости этих кубичных уравнений необходимо, чтобы выражения в квадратных скобках являлись линейными комбинациями базисных форм:

СЯРРо9о + (...)[Роао]íоlюí01 = ^о^оУ01, СЯР9 - ЯР0, ю1 + (...)Р0 а, ю&1 = ЯРа, ю&01,

Р091 Ро&1 91 у /Р09Й РоЪ&т &

Д - Я*° ю&1 - Я? ю&1 + (...)[0 ю&1 = Я*0 , ю&01.

Р191 РА 91 &191 Р1 4 &[ Р191Й Р191&01

Такие дифференциальные уравнения используются в обобщенных тождествах Бьянки [4, с. 339]. Запишем эти уравнения в виде дифференциальных сравнений по модулю базисных форм:

dRp0q = 0 (mod®t01), dRp0q - О&1 = 0,

poqo v " poqi m qi & (10)

dRS0 -RSot a1 -R"0 У = 0.

piqi P1h «1 ¿191 P1

Значит, на базе Vm+n пространства Lmnr заданы -1 m 2(m -1) однокомпонентных тензоров, или абсолютных инвариантов, RSp0qo (см.: [4, с. 299, 331]), m2 одновалентных тензоров

Rp0 = {R^P091} и m двухвалентных кососимметрических тензоров Rs0 = {Rsp°iqi} (см.: [4, с. 297, 331]). Отметим, что тензоры Лаптева не являются классическими тензорами.

Замечание 2. Поскольку объект Rp01901 состоит из тензоров

Rp0q0, Rp0, RS0, он является тензором, который назовем побочным тензором кручения (см.: [5]). Инвариантные равенства Rp001q01 = 0 делают уравнения (1) тривиальными: daS0 = 0, но

не меняют уравнения (2, 3), то есть приводят к специализированной фундаментально-групповой связности [4, с. 331].

3. Главный квазитензор кручения

Замыкая уравнения (6) с помощью уравнений (1, 7), получим

у л®90 л [dRp0 «0 + Rtuy + (...^У01]+

+ 2У л®91 л [^ + Riqy - Rpy + (...)pUt01®t01] + (11) +у л®91 л [Ж* + 4с!&[ cqAuy + (...)[& ],У01] +

lp19i &2 [ p^ 91^2 V"&7[ p1q1]t01I

Ct2 + 2CSl Ctl "t2 p1 «2г2 t1[q2 r2] p>1&

+2®p1 л®92 л^чес! +сП] j=o,

где ÁKSi = dKSi + Kh У - KS1 У - Ks\\ a1 .

A pq pq pq t1 tq p1 p¿1 91

Последнее слагаемое в уравнениях (11) равно нулю согласно тождествам Якоби. Действительно, соответствующая этому слагаемому часть тождеств (42) имеет вид

С\\ С&1

"&12 ( Р1 92 г2 }

Раскрывая циклирование, записывая подробнее суммирование и учитывая условие (43), выделяющее подгруппу Н г , получим тождество

С*1 С&1 + С*1 С&1 + С*1 С&2 = о

&192 г2 Р1 ^г^ Р192 &2 Р1 92 г2 &

левая часть которого находится в скобках последнего слагаемого уравнений (11). Следовательно, эти уравнения принимают вид

юРо лю90 л(СЯ*1 + Я&Р ю&1 +...) +

у Ро9о Ро9о &1 &

+ 2юРо лю91 л (СЯР091 + - + ...) +

+ юР1 лю91 л (АКР + 4С!1[ .С^ ю2 +...) = 0.

Эти кубичные уравнения могут выполняться лишь тогда, когда выражения в скобках являются линейными комбинациями базисных форм, что приводит к дифференциальным сравнениям

Итак,

ЯРо9о = {Я

СЯР\\9о + =0 (то^п

СЯРи

+ Я&1„ ю*1 - ЯГ ю&

К + 4С1

Ро91^&1 "Ро&^ 91 0

С[\\„ юг2 = 0.

получили

&2[ Р1 91]г2

2т(т -1) одновалентных

Ро9 }, т двухвалентных тензоров = (Я

сосимметрический квазитензор К

тензоров } и коРо 91 &

(см.: [4, с. 297, 330]).

Квазитензор станет тензором при выполнении условия

С*1 С&2 = о

&2 [Р1 91]г2

Составной объект (Я^1 , К^1 } назовем главным квазитензором кручения.

4. Квазитензор кривизны-кручения

Дифференцируем внешние уравнения (7), используя уравнения (1, 6):

«Р0 л «а0 л (Жр20 + Яр а а/2 + Яр а а/2 +...) +

у Р0% Р0% &2 Р0% &1 &

+ 2аР0 л а41 л (¿Я20 + Я20 с/2 - Я*2, С + Я&1 а а2 +...) +

у Р0а1 Р0а1 &2 Р011 ал Р0а1 &1 & (14)

+ аР1 л аа л (Ж^ + К^С + 4С*Р1Са?]Г2СГ2 +...) + + лаа2 ла&2(2СР22[а2+ С^ +

+ С^) + 2«а2 л«"2 л а&2 СР2(а2 С», = 0

а/2 = 2С/2 С2, а/2 = 2С/2 С2, (15)

&2 &2Г2 &1 &1г2

ЛК"2а = ¿КР2а + КРа а/2 - К/2а аР - К*2 С .

Р1а1 Р1Ч1 Р1<и &2 &а Р1 Рй а1

В уравнениях (14) два последних слагаемых равны нулю в силу тождеств Якоби и условия существования подгруппы Нг. В самом деле, запишем соответствующие части тождеств (42) и учтем условие (43):

С/2 СР2 + С/2. СР2 + С/2 СР2 + С/2 СР +

Р2а2 Чп Р2*2 "а Р2п а2*2 Ра Чп

+ С&4. СР1 = 0, С % СР2Х = 0.

Р1& 2 "а & Р2(а2 "Л} Левые части этих тождеств, среди которых присутствуют тождества Якоби для подгруппы Н , являются множителями в слагаемых уравнений (14), поэтому уравнения принимают вид

аР0 лаа0 л(Я2а + Я&2а а/2 + Я&1 а/2 +...) + 4 Р0а0 Р0а0 &2 Р0а0 &1

+ 2аР0 лаа1 л (¿Я&2 + Я&2 а/2 - Я"2, С1 + Я&1 а/2 +...) +

Р0а1 Р0а1 &2 Р0&1 а1 Р0а1 &1

+ «Р1 лаа1 л(ЛК*2 + К&1 С2 + 4С/2 С&* а"2 +...) = 0.

^ Ра Ра и иI Р а п &

Отсюда вытекают дифференциальные сравнения

СЯР^ + Я1ю22 + ЯиА2 = ^то^П

СЯР2О91 + ЯР\\ю: - К^Л + ЯР>о91 ю*2 =о, (16)

+ К^Х2 + С Р^ю2 =0.

Таким образом, имеем у т(т -1) одновалентных тензоров ЛРо9о = (Я^г90}, содержащих подтензоры ЯРоЧо, т двухвалентных тензоров ЛРо = (ЯРо} с подтензорами ЯРд и квазитензор К^2 , включающий подквазитензор К^ Если выполняется

условие

С*12 С&2 = о (17)

С&2[Р1 С91]г2 0& ^ &&

содержащее условие (13), то квазитензор КР*11291 становится

тензором с подтензором КР*1191 .

Теорема 1. Преобразованный объект кривизны-кручения К = {ЯР001901 , Яр^, К^ } пространства фундаментально-групповой связности Лаптева Ьтпг с приведенными структурными уравнениями (1, 6, 7) образует квазитензор, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным сравнениям (10, 12, 16). Квазитензор кривизны-кручения К распадается на ут2(т -1) инвариантов Я"^, ут(3т -1) одновалентных тензоров ЯР , Д1^, 2т двухвалентных тензоров

Я^, ЯР02 и квазитензор К^. При условии (17) К превращается в тензор приведенной кривизны-кручения.

Следствие. Квазитензор кривизны-кручения К имеет подквазитензор кручения К = Д0^^ Rp10а01, КРР1191}, состоящий из

побочного тензора кручения и главного квазитензора кручения. Если выполняется условие (13), то квазитензор кручения К становится тензором приведенного кручения.

5. Тензор кривизны-кручения

Получим дифференциальные сравнения для компонент тензора кривизны-кручения Я из сравнения для компонент квазитензора. Подставим выражения (8) в сравнения (123, 163):

диди+^ *сг*с=0 +^ + +с*и<+4с"[ с^с ^0.

Подействуем дифференциальным оператором А на постоянные с^ и раскроем альтернирования:

ДЯ* + с С - с4 С - с* С1) +

Р4 у РА П 141 Р1 РЛ Ч\\&

+ 2(С1 сг\\ - ссР, )С2 = 0,

ДЯ"2 + (сР с - с*2 с - с°2 С1) + Яг1 с +

РА у РА г2 ГА Р1 РЛ 41& РА Г1

+ сгР С + 2(с*2 С2, - с*2 С2, )С = 0.

Р141 Г1 У г2 Р1 4^2 г2 41 Р1^2 &

Воспользуемся обозначениями (9, 15):

ДЯР4 + 2(сР14С - с^с^ - с;гс^ +

Р141 4 Р141 п1г2 п141 Р1г2 Р1п1 41г2

+с^ - с^сис&2 =0,

ДЯРЛ + ЯГкС + 2(сР2141 сП22,2 - сП1241с^^1,2 - сР1п1 с4^2 +

+ сгР с*2 + с*2 С2, - с*2 С2, )С = 0.

Р141 ГА г2Р1 41,2 г241 РЛ &

Записывая соответствующие части тождеств Якоби (42), используя условия антисимметрии (41) и существования подгруппы (43), получаем, что выражения в скобках равны нулю, поэтому сравнения принимают вид

дя;м = 0 (шсас&01), ДЯРт + Япта = 0. (18)

Теорема 2. Компоненты тензора кривизны-кручения Я = (ЯР™2 } пространства фундаментально-групповой связности Лаптева Ьтпг с неприведенными структурными уравнениями (1—3) удовлетворяют дифференциальным сравнениям (10, 121, 2, 1^1, 2, 18). Тензор Я состоит из абсолютных инвариантов Я^ , одновалентных тензоров Я^, Я^, двухвалентных тензоров Я^ , ЯР/&02а1 и тензора Яр^ . Тензор кривизны-кручения Я содержит тензор кручения ЯРР<011а01 .

Замечание 3. Тензор Я имеет 23 подтензора [4, с. 340], из которых только 8 не являются составными:

пч пч пч П612 яЧ2 ЯП Р0«& Р1й& Р0а0& Р0Й & РМ & Р0а0& Р0й& т\\ &

Компоненты этих тензоров вместе с особым тензором Яр00а0, состоящим из инвариантов, служат коэффициентами в структурных уравнениях (1—3).

6. Пространства со связностями Картана

Если тензорная часть квазитензора кривизны-кручения К равна нулю:

ЯР а = 0, ЯР12а = 0, (19)

Р01а01 & Р0!01 & у &

то уравнения (1) вырождаются: ¿С0 = 0, а уравнения (6, 7) принимают вид (см.: [1, с. 175; 4, с. 356])

сСС1 =аР1 л (2СР1а С + Кра аа1), (20)

Р1а2 Р1а1

¿С2 = СР2а аР2 лаа2 + 2СР2 аР1 лаа2 + КР2а аР1 лаа1. (21)

Ргаг рш Ра у &

Эти же уравнения получаются тогда, когда побочные формы С0 отсутствуют.

Если выполняется условие редуктивности (5), то структурные уравнения (21) становятся проще (см. [1, с. 176; 4, с. 357]):

¿С2 = Ср2а аР2 лаа2 + Кр2 аР1 лаа1 . (22)

В этом случае справедливо условие тензорности (17) и в силу обозначения (152) аннулируются формы с«2 = 0, поэтому

дифференциальные сравнения (123, 163) принимают простейший вид:

Ж&1 = 0, Ж*2 = 0 .

Р1!1 & Р191

Значит, квазитензор кривизны-кручения К^^, содержащий квазитензор кручения К /Р11а1 , превратился в тензор, который распался на 2 подтензора Кр1а1 и Кр2т .

Выводы

1. Если в пространстве фундаментально-групповой связности Лаптева Ьтпг с приведенными уравнениями (1, 6, 7) выполнится условие (19), то оно станет пространством картано-вой связности со структурными уравнениями (20, 21), причем побочные формы превратятся в полные дифференциалы, не играющие существенной роли.
2. С другой стороны, если побочных форм нет, то имеем особое пространство Лаптева Ь0пг с теми же структурными

уравнениями (20, 21), являющееся пространством со связностью Картана.

3. Пространство картановой связности есть специальное главное расслоение Иг(Уп) над п-мерным многообразием Уп с типовым слоем — подгруппой Нг с Ог+п, причем расслоение Нг(Уп) не обладает главной связностью [3, с. 167].
4. В общем случае пространство со связностью Картана имеет квазитензор кривизны-кручения, содержащий квазитензор кручения (ср. [8; 9]). При выполнении условия тензорно-сти (17) квазитензоры становятся тензорами. Так происходит в случае классической проективной связности (см.: [7]).
5. В редуктивном случае главное расслоение Иг(Уп) является пространством главной связности Игп со структурными уравнениями (20, 22), причем это пространство наряду с тензором кривизны К^ имеет тензор кручения К^, то есть непосредственно обобщает пространство аффинной связности.

Список литературы

1. Евтушик Л. Е. Связности Картана и геометрия пространств Кавагути, полученные методом подвижного репера // Геометрия — 3. Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. М., 2002. Т. 30. С. 170—204.
2. Евтушик Л. Е. Структуры высших порядков. М., 2014.
3. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.
4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. об-ва. М., 1953. Т. 2. С. 275—382.
5. Лаптев Г. Ф. О многообразиях геометрических элементов с дифференциальной связностью // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73, № 1. С. 17—20.
6. Лумисте Ю. Г. Связности в однородных расслоениях // Матем. сб. 1966. Т. 69, № 3. С. 434—469.
7. Шевченко Ю. И. Иерархия пространств проективной связности // ДГМФ. Калининград, 2018. Вып. 49. С. 178—192.
8. Шевченко Ю. И. Тензор кривизны-кручения связности Карта-на // ДГМФ. Калининград, 2019. Вып. 50. С. 155—168.
9. Шевченко Ю. И., Скрыдлова Е. В. Интерпретация связности Картана с помощью двухъярусной главной связности // Соврем. геом. и ее прилож. — 2019 : сб. тр. междунар. науч. конф. Казань, 2019. С. 166—169.

Yu. I. Shevchenko1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia ESkrydlova@kantiana.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-17

Curvature-torsion quasitensor of Laptev fundamental-group connection

Submitted on April 27, 2020

We consider a space with Laptev&s fundamental group connection generalizing spaces with Cartan connections. Laptev structural equations are reduced to a simpler form. The continuation of the given structural equations made it possible to find differential comparisons for the coefficients in these equations. It is proved that one part of these coefficients forms a tensor, and the other part forms is quasitensor, which justifies the name quasitensor of torsion-curvature for the entire set. From differential congruences for the components of this quasitensor, congruences are obtained for the components of the Laptev curvature-torsion tensor, which contains 9 subtensors included in the unreduced structural equations.

In two special cases, a space with a fundamental connection is a space with a Cartan connection, having a quasitensor of torsion-curvature, which contains a quasitensor of torsion. In the reductive case, the space of the Cartan connection is turned into such a principal bundle with connection that has not only a curvature tensor, but also a torsion tensor.

References

1. Evtushik, L.E.: Cartan connections and Kawaguchi geometry of spaces obtained by the moving frame method, Geometry — 3, Itogi nauki i tekhn. Sovrem. Math. and its app. Theme reviews. Moscow. 30, 170—204 (2002).
2. Evtushik, L.E.: Structures of higher orders. Moscow (2014).
3. Kobayashi, S.: Transformation groups in differential geometry. Moscow (1986).
4. Laptev, G.F.: Differential geometry of imbedded manifolds. Group theoretical method of differential geometric investigations. Tr. Mosk. Mat. Obs., 2, 275—382 (1953).
5. Laptev, G.F.: On manifolds of geometric elements with differential connection. Dokl. Akad. Nauk USSR, 78:1, 17—20 (1950).
6. Lumiste, Yu. G.: Connections in homogeneous bundles. Math. Sb., 69, 434—469 (1966).
7. Shevchenko, Yu. I.: The hierarchy of spaces of projective connection. DGMF. Kaliningrad. 49, 178—192 (2018).
8. Shevchenko, Yu. I.: Curvature-torsion tensor of Cartan connection. DGMF. Kaliningrad. 50, 155—168 (2019).
9. Shevchenko, Yu. I., Skrydlova, E. V.: Interpretation of Cartan connectivity using two-tier principal connectivity. Modern geom. and its app. — 2019. Kazan, 166—169 (2019).
ФУНДАМЕНТАЛЬНО-ГРУППОВАЯ СВЯЗНОСТЬ СВЯЗНОСТЬ КАРТАНА КВАЗИТЕНЗОР КРИВИЗНЫ-КРУЧЕНИЯ ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ-КРУЧЕНИЯ fundamental group connection cartan connection quasitensor of torsion-curvature torsion-curvature tensor