Научтруд
Войти
Категория: Математика

ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ В КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Научный труд разместил:
Akim
11 сентября 2020
Автор: Цыренова В. Б.

УДК 512.81

В. Б. Цыренова]

1 Бурятский государственный университет им. Доржи Банзарова, Россия

v.ts@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-14

Линии на поверхности в квазигиперболическом пространстве п£3

Квазигиперболические пространства являются проективными пространствами с распадающимся абсолютом. Данная работа продолжает работу [7], в которой рассмотрены поверхности в одном из этих пространств методами внешних форм и подвижного репера. Изучены получебышевские и чебышевские сети линий на по11 е1

верхности в пространстве .

Доказаны три теоремы. В теореме 1 получено натуральное уравнение негеодезических линий, входящих в сопряженную получебышевскую сеть на поверхности так, что вдоль них параллельно переносятся касательные к линиям другого семейства. В теореме 2 получено натуральное уравнение негеодезических линий, входящих в чебышевскую сеть. В теореме 3 доказано, что сопряженные чебышевские сети, одно семейство которых не является ни геодезическими линиями, ни евклидовыми сечениями, имеются на поверхностях с произволом четырех функций одного аргумента.

Поступила в редакцию 26.04.2020 г. © Цыренова В. Б., 2020

Введение

Квазиэллиптическое и квазигиперболические пространства изучались многими учениками Б. А. Розенфельда и Р. Н. Щербакова (напр., [3; 4]). Во всех указанных пространствах нами изучены линейчатые поверхности и конгруэнции, построены и геометрически характеризованы их канонические реперы, получены геометрические характеристики инвариантов и простейшие классы.

В данной работе продолжим рассмотрение поверхности в

трехмерном квазигиперболическом пространстве 11 $3, сетей линий на поверхности.

1. Квазигиперболическое пространство 11$3

Квазигиперболическое пространство 11 $3 — это проективное 3-пространство, в котором метрика определяется абсолютом, заданным совокупностью пары действительных плоскостей и пары действительных точек на прямой их пересечения.

Будем пользоваться такой системой координат, в которой абсолютные плоскости ^, д2, абсолютная прямая Т0 и абсолютные точки на ней Q1, Q2 имеют соответственно уравнения

(Х,Х)1 = (х0)2 + 2х0х1 =0, х0 = х1 = 0 , (Х,Х)2 = (х2)2 -(х3)2 = 0.

Абсолютные плоскости пространства 11 $3 разбивают многообразие точек проективного пространства, не принадлежащих абсолюту, на две связные области. Мы рассматриваем ту область, для точек которой (Х, Х)1 > 0 , а их координаты и координаты точек абсолютной прямой будем нормировать соответственно условиям (Х, Х )1 = 1 и (Х, Х )2 = 1.

Расстояния 50, й и 51 между точками Х и У с нормированными координатами гиперболической, абсолютной и евклидовой прямых находятся по формулам

сН50 = (Х ,У )1, ск51 = (Х ,У )2, й2 = (X ,У )2.

Деривационные формулы наиболее общего репера пространства 11 $3 имеют вид

йА = Щ (А - Л) + О ^2 + О А3 , йА1 = -щ1 А1 + ®12 А2 + Щ А3, йА2 = со\\А3, йА3 = щ А2.

2. Поверхности в пространстве 11$3

В работе [7] автором был построен полуканонический и два канонических репера поверхности. При этом поверхность задается параметрическим уравнением А = А(и1,и2). Точка поверхности и касательная плоскость (а следовательно, и нормаль) включены в репер в качестве точки А0 и плоскости ( А0 А1 А2 ) . Деривационные формулы полуканонического репера поверхности получены в виде

йА0 = 0)0 А0 - 0)0 А1 + с А2,

0 0 2 0 2 йА1 = -о0 А1 + (цо)0 + уо0 ) А2 + (ао0 + (Зсо0) А3

йА2 = (-О0 +0с) А3,

йА3 = (-^соЩ^ +Оо) А3.

Для базисных форм щ и щ имеем Вщ0 = 0,

Вщ = (1 -^ОС лО), а основная система дифференциальных уравнений [7] имеет вид

ёа л в)° + ёр л соС = (у/и + р(у - 1)ю° л со2,

ёр лю° - ёулю1=у(1 -у)®с1 лс02; (2.2)

ё/ лю° + ёу люС = (у2 - 2у + ау + р2&)ю° лс02.

Решение этой системы существует с произволом в две функции двух аргументов, что соответствует произволу существования поверхности, отнесенной к произвольному семейству линий [7].

Полную систему инвариантов поверхности образуют инварианты у, I = р2 + 2ау и значения и и у при какой-либо канонизации репера.

При а = 0, р Ф 0 и р = 0, аФ 0 получаются канонические

реперы Я1 и Я2.

Полную систему инвариантов линии С = 0 на поверхности составляют значения коэффициентов а,р,и, вычисленных вдоль этой линии. Линии С = 0 высекаются на поверхности евклидовыми плоскостями и называются евклидовыми сечениями [5]. В [4] они названы изотропными линиями кривизны.

На поверхности определены две первые квадратичные формы:

р = (¿4), оА))! = -(ю0)2;р = (¿4), ёЛ)2 = (ю2)2.

Вторая квадратичная форма поверхности имеет вид

Ч>2 = (ё2Аз,А>,Л,Л) =-а(ю0)2 -2р®042 +у(ю2)2.

Геометрическое значение второй квадратичной формы получается из соотношения (р2 = ± 28, где 8 — расстояние меж,.Аз /Л , ЛЛ , 1

ду точками 40 и В = рг/^ (^ + ёЛ + -ё2Л + [3]).

Уравнения торсов конгруэнции { А0 А3 } нормалей поверхности имеют вид Юд = 0 и р<я{° - уС = 0, фокусами образующих являются точки ^ = А +1А3 и = А3, это означает,

7

что одна из эволют вырождается в абсолютную прямую.

Инвариант а = — называют нормальной кривизной линии Я\\

О : О на поверхности [7]. Для линии а}0 = 0 форма = 0 , а нормальная кривизна а = —= 7 .

Поверхности V = 0 характеризуются тем, что евклидово сечение О = 0 является горловой линией регулюса {А0 А1} касательных к асимптотической линии о0 = 0 и существуют с произволом трех функций одного аргумента.

3. Линии на поверхности

Полагая О = 0 , щ = йъ, /и = т, а = а, / = Ь , получим деривационные формулы канонического репера линии на поверхности:

^ = А0 - А1, ^ = - А1 + тА2 + аА3, ^ = -ЬА3, ^

Формулы Френе пространственной кривой можно получить в виде

йА} л л . , . йА.2 . .

— , — -А1 + К^А&), — ааа , — ааО .

0 1 1 2 3 2

йъ йъ йъ йъ

Сравнивая эти формулы, видим, что ъ есть длина дуги ли* *

нии на поверхности, а для кривизн к , к линии на поверхно(* г 2 2 *

К ) = а + т ,к =-Ь. Из деривационных формул канонического репера линии на поверхности получаются вычислительные формулы для инвариантов линии на поверхности:

а = (-а(®0)2 -2Дэ00®02 +г(®02)2):(®о)2

Ь = (-ДЭ01 + У® 02):®00,

т = (цсо0 + (1 - ): - - а)02ёа00): (®0°)3

Видим отсюда, что только инвариант т является инвариантом второго порядка.

Нами выделены следующие три основных класса линий на поверхности:

1) а = 0 — асимптотические линии, для них репер совпадает с каноническим репером Я1, а также может служить каноническим репером пространственной кривой, рассматриваемой независимо от поверхности;
2) Ь = 0 — конические линии (конусы, описываемые касательными к этим линиям, имеют вершины на абсолютной прямой); нормаль А0А3 также описывает такой конус;
3) т = 0 — квазигиперболические геодезические линии с гиперболическими касательными.
4. Получебышевские и чебышевские сети линий на поверхности

В нашем репере (А0А1А2) — касательная плоскость к поверхности (А0) в точке А0. Будем говорить [6], что гиперболическая прямая (А0М), М = А1 + хА2 «переносится параллель0 , 2 п

но» вдоль некоторой линии у®0 + г®0 = 0 на поверхности, ес>!<

М+(ёМ)

* . — ли вдоль этой линии ((ёМ) , А0,М) = 0, где точка ^1+(®0)2

М+(йМ)

есть проекция точки ^+(О0)2 из несобственной точки А3

квазигиперболической нормали на касательную плоскость (А0 А1А2), причем дифференциал йМ здесь находится вдоль

линии уО + ¿Щ = 0 .

Пусть (А0А1А2) — касательная плоскость к поверхности в точке А0. Будем говорить, что гиперболическая прямая (А0М), где М = А1 + хА2 , «переносится параллельно» вдоль некоторой линии ус0 + ¿О = 0 на поверхности, если вдоль этой линии

((йМ), А0, М) = 0, (4.1)

где точка М+(йМ) является проекцией точки М + (йМ)ущ+о=0 из несобственной точки А3 квазигиперболической нормали на плоскость (А0 А1А2) .

Условие (4.1) для линий ус + = 0 имеет вид

йх + хо00 + О = 0. (4.2)

2

Если переносится прямая (А0 А1), то равенство (4.2) в терминах любого из наших реперов дает

И* = V. (4.3)

Теперь, учитывая, что йх = ХЩ0 + х2о0 , получаем условие (4.2) параллельного перенесения прямой (А0М) вдоль линии семейства О = 0 в виде

х + ц + х1 = 0. (4.4)

Если прямая (А®М) переносится вдоль геодезической линии, то (4.4) имеет вид x + x1 = 0. При этом вдоль них касательные к геодезическим переносятся параллельно.

В работе [6] по аналогии с евклидовой геометрией получебы-шевской сетью линий на поверхности называется сеть, у которой касательные к линиям одного семейства переносятся параллельно вдоль линий другого семейства, а сеть, у которой касательные к линиям каждого семейства переносятся параллельно вдоль линий другого семейства, называется чебышевской.

Если семейство негеодезических линий со® = 0 включено в получебышевскую сеть так, что касательные (А0 А1) к его линиям переносятся параллельно, то второе семейство в силу (4.3) имеет уравнение

¿иса® + усО® = 0. (4.5)

При у = 0 касательные к негеодезическим линиям переносятся параллельно вдоль евклидовых сечений.

Если же семейство а® = 0 включено в получебышевскую сеть так, что вдоль его линий параллельно переносятся линии другого семейства, то уравнение последнего можно записать в виде

а® + qао2 = 0, (4.6)

При этом функция q удовлетворяет уравнению

41 = ич2 - q. (4.7)

Теорема 4.1. Линии семейства со® = 0, входящие в сопряженную получебышевскую сеть так, что вдоль них параллельно переносятся касательные к линиям другого семейства, имеют натуральное уравнение

ёЬ , ёа ,2 ,

а--Ь— = тЬ - аЬ.

ёи ёи

Доказательство. Получебышевская сеть линий на поверх2 *0 *2 р

ности с0 (с 0 + #0о) = 0 будет сопряженной, если д = —, так

как уравнение сопряженной сети имеет вид

* 0 * 2 ®о(а®о + Рс) = 0 .

Тогда условие (4.7) дает искомое натуральное уравнение.

Теорема 4.2. Если семейство негеодезических линий

О)®2 = 0 можно включить в чебышевскую сеть, то

цу2 - цу1 + уц1 - цу = 0. (4.8)

Доказательство. Искомое соотношение получается из (4.5), (4.6) и (4.7). Этих семейств на поверхности имеется бесчисленное множество.

Теорема 4.3. Если семейство линий О = 0, не являющихся ни геодезическими линями, ни линиями у = 0, можно включить в сопряженную чебышевскую сеть, то

ау-Рц = цу2 - цу1 + уц - цу = 0. (4.9)

Такие сети имеются на поверхностях, определяемых с произволом четырех функций одного аргумента.

Доказательство. Объединяя условие сопряженности сети с условием теоремы 4.2, получаем соотношение (4.9).

Присоединяя эти соотношения, а также замыкания равенств

ёц = цсС +ц2Юд,ёу = ус0 +у2®о к основной системе (2.2), получаем систему, состоящую из внешних уравнений

ёа л о)° + ёр ло02 = (ц + р(у - 1)0 л со®;

ёрЛ00° -ёула>1=у(1 -у)0 лс02; (4.10)

ёц лоо + ёц2 л О = ц2(у -1)0 л О; ёу Л022 + ёу лс02 = у2(у -1)0 л а>1

и следующих трех конечных соотношений:

av-р— = 0, —V + v—-—v1 - —V = 0,

v1 - —2 =v2 - 2v + ау + р2.

Обозначив здесь и далее буквами Qi выражения, не имеющие значения для определения произвола решения системы, из этих конечных соотношений при —V Ф 0 находим

йа = —йр + + Q2®02;

dVl = ^ й— + +

V , у— + 2^ , 0 2

й— 2 = — й— +--йр + айу + Q5ю0 + Q6a0.

Подставив полученные значения дифференциалов в систему (4.10), получаем стандартную систему внешних дифференциальных уравнений

—йр л оС + vdр ло02 = 07®С л оО, йр л ®0 - йу л 1 = у(1 - v)o33 л С,

0 V у— + 2рv 2 ~ 0 2

й— ло0 + (— й— + —--— йр + айу) ло0 = л о0 ,

^^ 0,, 2 0 2

—й— ло0 + dv2 ло0 = л о0 —

со старшим характером 51 = 4. Теорема доказана.

Список литературы

1. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М., 1969.
2. Щербаков Р. Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск, 1960.
3. Гурьева В. П., Абдурахманова X. К. К теории поверхностей в трехмерных квазиэллиптическом и квазигиперболических пространствах // Геом. сб. [Вып.] 17. Томск, 1976. С. 132—139.
4. Слободской В. И. Теория поверхностей в трехмерном квазигиперболическом пространстве 10// Геом. сб. [Вып.] 21. Томск, 1980. С. 55—67.
5. Цыренова В. Б., Щербаков Р. Н. Основы теории поверхностей трехмерного квазиэллиптического пространства // Геом. сб. [Вып.] 15. Томск, 1975. С. 183—204.
6. Цыренова В. Б. К теории поверхностей в квазиэллиптическом пространстве. // Геом. сб. [Вып.] 19. Томск, 1978. С. 96—108.
7. Цыренова В. Б. Поверхности в квазигиперболическом пространстве 11// Геометрия многообразий и ее приложения : матер. V науч. конф. с междунар. участием, посвященной 100-летию профессора Р. Н. Щербакова. Улан-Удэ, 2018. С. 56—60.

V. В. Tsyrenova1 1 Banzarov Buryat State University 24а Smolin St., Ulan-Ude, Russia, 670000 v.ts@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-14

Lines on the surface in the quasi-hiperbolic space "S3

Submitted on April 26, 2020

Quasi-hyperbolic spaces are projective spaces with decaying absolute. This work is a continuation of the author&s work [7], in which surfaces in one of these spaces are examined by methods of external forms and a moving frame. The semi-Chebyshev and Chebyshev networks of lines on the surface in quasi-hyperbolic space 11S^ are considered. In this paper we use the definition of parallel transfer adopted in [6]. By analogy with Euclidean geometry, the semi-Chebyshev network of lines on the surface is the network in which the tangents to the lines of one family are carried parallel along the lines of another family. A Chebyshev network is a network in which tangents to the lines of each family are carried parallel along the lines of another family.

We proved three theorems. In Theorem 1, we obtain a natural equation for non-geodesic lines that are part of a conjugate semi-Chebyshev network on the surface so that tangents to lines of another family are transferred in parallel along them. In Theorem 2, the natural equation of non-geodesic lines in the Chebyshev network is obtained. In Theorem 3 we prove that conjugate Chebyshev networks, one family of which is neither geodesic lines, nor Euclidean sections, exist on surfaces with the latitude of four functions of one argument.

References

1. Rosenfeld, B.A.: Non-Euclidean spaces. Moscow (1969).
2. Scherbakov, R. N.: Course of affine and projective differential geometry. Tomsk (1960).
3. Guryeva, V.P., Abdurakhmanova, Kh. K.: On the theory of surfaces in three-dimensional quasi-elliptic and quasi-hyperbolic spaces. Geom. Sb. Tomsk. 17, 132—139 (1976).
4. Slobodskoy, V. I.: The theory of surfaces in three-dimensional quasi-hyperbolic space. Geom. Sb. Tomsk. 21, 55—67 (1980).
5. Tsyrenova, V.B., Scherbakov, R. N.: Fundamentals of the theory of surfaces of three-dimensional quasielliptic space. Geom. Sb. Tomsk. 15, 183—204 (1975).
6. Tsyrenova, V.B.: On the theory of surfaces in quasielliptic space. Geom. Sb. Tomsk. 19, 96—108 (1978).
7. Tsyrenova, V.B.: Surfaces in quasi-hyperbolic space "S^. Geometry of manifolds and its applications: materials of the Fifth Scientific Conference. Ulan-Ude. 56—60 (2018).
КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО АБСОЛЮТ ПОВЕРХНОСТЬ КАНОНИЧЕСКИЙ РЕПЕР ИНВАРИАНТЫ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ПОЛУЧЕБЫШЕВСКИЕ И ЧЕБЫШЕВСКИЕ СЕТИ quasi-hyperbolic space absolute