Научтруд
Войти
Категория: Математика

ЦЕНТРИРОВАННЫЕ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ

Научный труд разместил:
Olimpiy
11 сентября 2020
Автор: Белова О. О.

УДК 514.764.4

О. О. Белова1

1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия olgaobelova@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-4

Центрированные плоскости в пространстве проективной связности

В пространстве проективной связности Картана исследуется пространство П центрированных да-мерных плоскостей. В присоединенном главном расслоении О (П*) способом Лаптева — Лумисте задается связность. Найдены дифференциальные сравнения компонент объекта связности. Показано, что объект групповой связности образует квазитензор, содержащий четыре подквазитензора, которые задают связности в соответствующих фактор-расслоениях.

Проективное пространство Рп представляет собой фактор-пространство Ьп+1 /~ линейного пространства Ьп+1 по отношению эквивалентности (коллинеарности) ~ ненулевых векторов, то есть Рп =(Ъп+1\\{0})/~ (см., напр., [12]). Проективное пространство Рп является многообразием размерности п.

Пространство проективной связности Картана Рпп [5] было введено им как п-мерное многообразие, с каждой точкой которого связано касательное пространство, являющееся ценПоступила в редакцию 03.04.2020 г. © Белова О. О., 2020

тропроективным пространством Рп, причем каждой паре бесконечно близких точек соответствует проективное отображение, которое служит аналогом параллельного переноса вектора пространства аффинной связности [1].

Пространство Рп п является п-мерным дифференцируемым

многообразием Мп, с каждой точкой которого ассоциировано п-мерное проективное пространство Рп , содержащее эту точку. Таким образом, многообразие Мп выступает базой, а пространство Рп — п-мерным слоем, «приклеенным» к точкам базы [5]. В [8] показано, что задание фундаментально-групповой связности в главном расслоении, типовым слоем которого является проективная группа, превращает данное расслоение в пространство общей проективной связности. Кроме того, в той же работе построена иерархия пространств проективной связности.

Пространство Рпп есть главное расслоение Оп{п+1){Мп) над базой Мп, типовым слоем служит группа Оп(п+1), действующая

эффективно в каждом центропроективном пространстве Рп0 (х) , приклеенном к базе Мп в точке х е Мп. При этом Рп п не является пространством со связностью главного расслоения

В работе [11] пространство П центрированных га-мерных плоскостей Р* исследовалось в п-мерном проективном пространстве, при этом плоскость Рга* — это точка пространства П* . Теперь пространство П* будем рассматривать в каждом слое Р0 (х), причем центры плоскостей р* совпадают с точкой х .

Отнесем пространство центрированных плоскостей к подвижному реперу { Л,Л{} (= 1, п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами

dA = вЛ + o&Aí, dAi = dAi + co1iAj + o.A,

причем формы Пфаффа юг, юг, oJ удовлетворяют структурным уравнениям ([9], ср. [2; 4; 6; 7; 13])

Do = o Ao&j + Sjkoj люк (i,--- = 1, n),

Doj =rnkj л o, + s&jok лтк + oj л o + R&jjmiok л om, Do. = oj л o. + R.., O л cok,

i i J ijj &

при этом компоненты объекта кривизны R = ^.к, R&Jkm, Rijk j антисимметричны, то есть Sj) = 0, Rj(km) = 0 , R¡(,) = 0, где

круглые скобки означают симметрирование Sj) = "2 (Sjk + Sj ).

Следует заметить, что деривационные формулы для проективных реперов в пространстве Pn n имеют аналогичный вид,

что и в пространстве Pn, но структурные уравнения — более сложный вид [1].

Помещаем вершины A , Aa на m-плоскость P*, причем вершину A — в центр x (здесь и в дальнейшем индексы принимают значения a, ... = 1, m; а, ... = m +1, n ).

Базисными формами пространства центрированных плоскостей являются формы Oa , Oaa , Oa, число которых определяет размерность пространства П*:

dim П* = n + m (n - m).

Замечание. Размерность пространства П отличается от размерности многообразия Грассмана Gr (m, n) (пространства всех m-мерных плоскостей) на величину m, то есть dim П* = dim Gr (m, n) + m, причем m, n e Z и 0 < m < n .

Связь рассматриваемого пространства центрированных плоскостей с многообразием Грассмана От (т, п) важна, поскольку многообразие Грассмана играет важную роль в геометрии и топологии, будучи базисным пространством универсального векторного расслоения. Кроме того, проективное пространство Рп можно представить как многообразие Ог(1, п +1) . Многообразие Грассмана [10] является пространством подпространств, погруженных в пространство более высокой размерности.

Структурные уравнения присоединенного расслоения

О (П*) пространства проективной связности Картана для пространства центрированных плоскостей имеют следующий вид:

БС = -а* л С + С л Са + Б.С л С + Балаа л С +

+ 2£*рю" л С, БС = -С л< -< лс а + Ба,аЬ л< +Ба<а л С +

Ь а Ьс ар

Ь (1) + 2^ сЬ л с а,

БС = « -8ьюаЛлюВ +с л С + Я". < л< +

а \\ В а а р ) Ь а ару

+ ЯааЪС л С + 2Яал< л <;

Замечание. Первые два уравнения системы (1) являются уравнениями базы Мп, а уравнения для форм С дополняют

Мп до расширенной базы П*. Вся система (1) задает расслое*

ние П .

БС = С лС - С л Са + 8< лса + (да,с + 8"сЬ) л С +

Ь Ь с а Ь Ь а \\ Ь с с Ь /

+Я Са л С + Я С л С + 2ЯС С л Са, (2)

Ь ар Ьсе Ьса & 4 &

Бс а = агплаа + (8Вс +8аап) лС + сВ л С + 8Ва лС +

В В у V р у у В р а р а

+ЯВуС л С + ЯВС л С + 2Ка уС лС , (3)

Da = а л а, -а лЮ + R „aa ла" + R , а лас +

a a b a a aap abc

+2Rabaab лаа, (4)

Daa = (ô&baa - saa ) л a+aa л a + Raapy ла +

+К.Ьса" ЛЮ + 2Кьра" Л Ю , (5)

Daa =аРаЛа,1+аа лаа + КрУ Л Ю + Raaba" Л ^ +

+2Raapaa л а" .

Теорема 1. Расслоение G ( П*) содержит четыре фактор-рас*

слоения над П :

1) фактор-расслоение плоскостных линейных реперов

(Pn n ) со структурными уравнениями (1), (2);

2) фактор-расслоение нормальных линейных реперов L 2 ( Pn n ) со структурными уравнениями (1), (3);

(n-m) V n, &

3) фактор-расслоение плоскостных коаффинных реперов Cm(m+i) ( Pn, n ) со струкгурными уравнениями (1Х (2), (4);
4) аффинное фактор-расслоение H (Pn n ) со структурными уравнениями (1)—(3), (5).

Слоевыми формами фактор-расслоения плоскостных линейных реперов L 2 (Pn n ) являются формы ааь . Типовым слоем данного расслоения является линейная факторгруппа L 2 = GL (m) с G, которая действует в пучке прямых, принадлежащих плоскости р*.

Слоевыми формами фактор-расслоения L 2 ( Pn n ) явля(n-m) \\ n, &

ются формы a"a . Данное расслоение — двойственное для фактор-расслоения плоскостных линейных реперов. Типовой слой расслоения L ( ) (Pn n ) — линейная факторгруппа

L 2 = GL (n — m )с G,

(n—m) ^ &

которая действует неэффективно в проективном факторпространстве р n— m—1 = Pn / КПространство P n—m—1 можно представить в виде

Pn—m—1 = G(n—m—1)(n—m+1)/ GA (П — m — 1) (ср. [8]),

где G(n m—1)(n m+1) — проективная группа, а GA* (n — m — 1) — коаффинная (центропроективная) подгруппа проективной группы G, , и .

(n—m—1 )(n—m+1)

Слоевые формы фактор-расслоения Cm((m+1) (Pn n) — это формы соаь , соа. Плоскостные коаффинные реперы принадлежат центрированной плоскости P* . Коаффинная (центропроективная) факторгруппа Cm(m+1) = GA (m) с G, действующая на плоскости

P* , является типовым слоем фактор-расслоения Cm(m+1.) (Pn n) .

Формы С , ( , ( — это слоевые формы аффинного фактор-расслоения. Типовым слоем расслоения (P„, n) является аффинная факторгруппа H ( — )+ 2 группы G с GP(n),

действующая в пучке прямых с центром в точке А .

В присоединенном расслоении О (П*) зададим фундаментально-групповую связность способом Лаптева — Лумисте:

Да а т-га а т~га с тгас „а

ёЬ =СЬ - ПЬаС - ПЬсС - ПЬаСс

а а 7т а у гт а а тгаа у

со. =Ср - ПруС - ПрС - ПруС,

о =с -П Са-П ЬсЬ - 1Ь Са,

а а аа аЬ а а Ь &

X".а ГТа улР ГТа ЛаЬ ^лР

о — о — Л о — Л о — Л „О ,

а а ар аЬ ар Ь &

°а—юа— иау — пааоа — ¿арО ,

причем функции

п—{па па пас па па паа п

11 \\ Ьа Ьс? 11Ьа 11 Рг& Ра1 Рг & аа&

п тЬ па па п"& п п Т" ]

аЬ ^ -%а> 11 ар & £1аЬ& 11 ар & 11 ар & ±1аа? ^ар /

удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм оа , о« , оа:

Аща — пю + п;аос —5;оа - о, лп;с — 5"оь — з;ос - о, лп;а +5;оа - о ,

АН аа — пЮа + (¿Ьа + КаЮ - 0, АИ^ + ЩьОс - 0,

АТЬ + псЬо + 5ьо - 0

аа аа с а а

Апаар — Ко®? + Щ^Ь — пЬ,р0а + ^рО - 0 ,

лпа — по + паю —¿О« -0, лп%—паю + паю -0, лп;г — щю + п?гоа —¿о, —з;ор - 0, лпр —5раа - о, лпр;—5;ор- о, лп р — п ор+ (Ьая+ п)ю — п Ю + п7яо - 0,

ар а а р V ар ар а ар а ар у &

лп — па оЬ + пь о. + пр оя- 0,

аа Ьа а а а Ь а а р &

лТТар+ парОЬ — Цр0а + ^р0у - 0 •

Теорема 2. Объект групповой связности п в присоединенном расслоении О (п*) пространства проективной связности Картана Рп п является квазитензором, который содержит четыре подквазитензора

п =1 па па пас)

1А1 \\11Ьа & 11Ьа> 1АЬа ) J

П = {па Па Паа )

2 X11 Ру 11 Ра& 11 Ру ) &

П3 = {пл, П , ПЬ, Lb ) ,

3 ( 1& аа & аЬ ? а а j &

П =[П П Па Па ПаЬ )

4 112? 11 ар 11 ей& 11 аР ) &

задающие связности в соответствующих фактор-расслоениях.

Список литературы

1. АкивисМ.А., Розенфельд Б.А. Эли Картан (1869-1951). М., 2014.
2. Башашина К. В. Пространство проективной связности Картана как главное расслоение без связности // Классическая и современная геометрия : матер. Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения В. Т. Базылева. М., 2019. С. 57—59.
3. Башашина К. В. Тензорность объекта кривизны связности в главном расслоении пространства проективной связности Картана // ДГМФ. Калининград, 2019. № 50. С. 36—40.
4. Близникас В. И. О неголономной поверхности трехмерного пространства проективной связности // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1971. Т. 3. С. 115—124.
5. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
6. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения да-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1971. Т. 3. С. 49—94.
7. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
8. Шевченко Ю. И. Иерархия пространств проективной связности // ДГМФ. Калининград, 2018. № 49. С. 178—192.
9. Шевченко Ю. И. Центропроективная связность в пространстве проективной связности Картана // ДГМФ. Калининград, 2005. № 36. С. 154—160.
10. Akivis M. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds // North-Holland Mathematical Library. Vol. 49. Amsterdam, 1993.
11. Belova O. Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centered planes // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2009. Vol. 162, № 5. P. 605—632.
12. Benini F. Basics of Differential Geometry Group Theory : PhD thesis / SISSA. Trieste, 2018.
13. Scholz E. H. Weyl&s and E. Cartan&s proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s. University Wuppertal, 2010.
0.0. Belova1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia olgaobelova@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-4

Centered planes in the projective connection space

Submitted on April 3, 2020

The space n * of centered planes is considered in the Cartan projective connection space Pn n. The space n* is important because it has connection with the Grassmann manifold, which plays an important role in geometry and topology, since it is the basic space of a universal vector bundle.

The space Pnn is an n-dimensional differentiable manifold Vn with each point of which an n-dimensional projective space Pn containing this point is associated. Thus, the manifold Vn is the base, and the space Pn is the n-dimensional fiber "glued" to the points of the base.

A projective space Pn is a quotient space Ln+l /~ of a linear space Ln+1 with respect to the equivalence (collinearity) of non-zero vectors, that is Pn = (Ln+1 \\{0}) / ~ . The projective space Pn is a manifold of dimension n.

In this paper we use the Laptev — Lumiste invariant analytical method of differential geometric studies of the space n* of centered planes and introduce a fundamental-group connection in the associated bundle G (n *). The bundle G (n *) contains four quotient bundles. It is show

that the connection object n is a quasi-tensor containing four subquasi-tensors that define connections in the corresponding quotient bundles.

References

1.Akivis, M.A., Rosenfeld, B.A.: Eli Cartan (1869—1951). Moscow (2014).
2. Bashashina K.V. The space of projective connection of Cartan as the principal bundle without connection. Classical and modern geometry. Materials of the international conference dedicated to the centenary of V.T. Bazylev&s birth. Moscow. 57—59 (2019).
3. Bashashina K. V. Curvature tensor of connection in principal bundle of Cartan&s projective connection space. DGMF. Kaliningrad. 50, 36—40 (2019).
4. Bliznikas V.I. A non-holonomic surface of a three-dimensional space with projective connection // Tr. Geom. Sem., 3, 115—124 (1971).
5. Evtushik, L.E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N. M., Shirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. J. Soviet Math., 14:6, 1573—1719 (1980).
6. Laptev G.F., Ostianu N.M. Distributions of m-dimensional line elements in a space with projective connection. I. Tr. Geom. Sem., 3, 49—94 (1971).
7. Stolyarov A. V. The dual theory of equipped manifolds. Cheboksary (1994).
8. Shevchenko, Yu.I.: Hierarchy of spaces of projective connection. DGMF. Kaliningrad. 49, 178—192 (2018).
9. Shevchenko, Yu.I.: Centro-projective connection in Cartan&s projective connection space. DGMF. Kaliningrad. 36, 154—160 (2005).
10. Akivis, M. A., Goldberg, V. V.: Projective differential geometry of submanifolds. In North-Holland Mathematical Library. Amsterdam. 49 (1993).
11. Belova, O.: Connections in fiberings associated with the Grass-man manifold and the space of centred planes. J. Math. Sci. (New York), 162:5, 605—632 (2009).
12. Benini, F.: Basics of Differential Geometry Group Theory. PhD thesis. SISSA. Trieste (2018).
13. Scholz, E.: H. Weyl&s and E. Cartan&s proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s. University Wuppertal (2010).
ПРОСТРАНСТВО ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ ПРОСТРАНСТВО ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ РАССЛОЕНИЕ СВЯЗНОСТЬ projective connection space space of centered planes fibering connection
Другие работы в данной теме: