Научтруд
Войти
Категория: Физика

ПОДНЯТИЕ ПОЛУИНВАРИАНТНЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Научный труд разместил:
Ianhelm
15 сентября 2020
Автор: Букушева А. В.

УДК 514.76

А. В. Букушева]

1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского bukusheva@list.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-5

Поднятие полуинвариантных подмногообразий на распределения почти контактных метрических многообразий

Изучаются гладкие сечения X е Г(В) распределений Б почти контактных метрических многообразий М. Доказывается, что если и е Г(В) — ковариантно постоянное векторное поле относительно М-связности V^, а подмногообразие М многообразия М — полуинвариантное подмногообразие, то и (М) — полуинвариантное подмногообразие продолженной структуры на распределении В многообразия М.

Введение

Геометрия сечений касательных расслоений с метрикой Сасаки изучалась в работах [7; 10]. Так, например, в работе [10] было показано, что ковариантно постоянное векторное поле определяет вполне геодезическое подмногообразие касательного расслоения. Автором статьи изучались сечения распределения субриманова многообразия контактного типа [2].

Поступила в редакцию 15.05.2020 г. © Букушева А.В., 2020

Предварительно на распределении с помощью внутренней связности задавалась риманова метрика типа Сасаки. Пусть М с М — подмногообразие многообразия М. Тогда допустимое векторное поле V е Г(О) определяет подмногообразие

и(М) с О многообразия О. В настоящей работе доказывается, что если V е Г(О) — ковариантно постоянное векторное

поле относительно К-связности V^, а подмногообразие М многообразия М — полуинвариантное подмногообразие, то V (М) — полуинвариантное подмногообразие продолженной структуры на распределении О. Полуинвариантные подмногообразия ввел в рассмотрение А. Бежанку [8].

1. Продолженные почти контактные метрические структуры

Под М будем понимать почти контактное метрическое многообразие с заданной на нем структурой (М ,%,г, g ,ф, О), где г — 1-форма, порождающая распределение О: О = кег (г); % — векторное поле, порождающее оснащение О^ распределения О: О = 5рап(%), g — риманова метрика на многообразии М, относительно которой распределения О и О^ взаимно ортогональны. При этом выполняются равенства г(%) = 1 и

g (И) = 1.

Назовем О распределением почти контактной метрической структуры. Для проведения необходимых вычислений будем

использовать атлас карт К(ха) (а, в, у = 1, ..., п; а, Ь, с = 1, ...,

п- 1, I, ], к = 1, ..., 2п - 1) таких, что 8п [1]. Введем оператор

проектирования Р: ТМ ^ О, определяемый разложением

ТМ = В Ф В^. Векторные поля Р (8а) = еа = 8а - Гпа 8п линейно независимы в каждой точке и порождают систему В: В = 5рап{еа). Легко проверить, что [еа,е" ] = 2®"а8п.

Рассмотрим допустимые тензорные поля [3; 4] следующего вида:

ИХ = 2 (Iр) (X), С (X ,¥) = 1 (Ьн g ) (X ,¥),

ю(Х,Г) = g{¥Х,¥), g(СХ,¥) = С(X,¥), X,¥ еГ(ТМ). В адаптированных координатах имеем

1 л „А г — 1 я ^ йап ,.,с _ „Ьс

И" = 28п< , СаЬ = 2^аЬ, С" = , ^ = .

Обозначим коэффициенты связности Леви-Чивиты тензора g с помощью символов Гд^. Имеет место следующее предложение [5].

Предложение 1. Коэффициенты связности Леви-Чивиты контактного метрического многообразия в адаптированных координатах принимают вид

Г1 =1 gad (eЬgcd + ecgЬd - edgЬc ), ГПЬ =Ща - СаЬ,

Г" = гЬ = СЬ +шь Гп =Га =0 ап па а а па пп

Пусть V: Г(В)хГ(В)^Г(В), где Г(В) — модуль допустимых векторных полей, внутренняя линейная метрическая связность [3; 4].

Коэффициенты связности V задаются соотношениями

Vg еЬ = ГсаЬес. Формулы преобразования для коэффициентов связности имеют обычный вид:

Г 1 = Аа Аь А IГ ¡г I + А ,еаА, . аЬ а Ь с а Ь с а Ь

Говорят, что над распределением D задана связность, если распределение D = я-1 (D), где я: D ^M — естественная

проекция, раскладывается в прямую сумму вида D = HD © VD, причем VD — вертикальное распределение на тотальном пространстве D.

Гладкая структура на распределении D задается следующим образом. Каждой адаптированной карте K(xa) многообразия M ставится в соответствие сверхкарта K (xa, xn+а) на многообразии D, где хп+а — координаты допустимого вектора в базисе еа = да -Г&^ дп. Задание связности над распределением сводится к заданию объекта { xa, хп+а ) такого, что

HD = spa&{ёа), где Sa = да - Г"дп -Gbaдп+b.

Если V — внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением HD, и N: D ^ D — поле допустимого тензора типа (1,1), то N-продолженной связностью назовем связность в векторном расслоении (D,n, M), определяемую разложением TD = HD © VD, такую, что HD = HD© Брап{ё), где ё = дп -(NX)v, X еD, (NX)v — вертикальный лифт. В базисе (ёа, дп, дп+а) поле s получает следующее координатное представление:

S = дп -mx^дп+а.

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

R{X, Y) Z = VxVyZ - VyVXZ - Vp{x j]Z -P[Q[X,Y], Z],

где Q =I— P, названо Вагнером [5] тензором кривизны Схоуте-на. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид

Ribc = 2е[аГЬ]е + 2Г[а\\е\\ГЬ]с.

Назовем тензор Схоутена тензором кривизны распределения В, а распределение В, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, — распределением нулевой кривизны. Частные

производные 8пГЪс = Р§с являются компонентами допустимого тензорного поля, обозначаемого в дальнейшем Р^Г). Векторные поля

(Ё =8 -Гп 8 -ГЬ хп+с 8 и £ = 8 -Ыахп+Ь 8 8 ) У а ~ а 1 аип 1 асл ип+Ь&ь ~ип ип+а?ип+а>

задают на D адаптированное поле базисов, а формы

(СхЪ, 0й = Схп + ГпасХа, 0п+а = сХп+а + ГаЪсхп+ссХЬ + ^х^сХ") —

сопряженное поле кобазисов. Имеют место следующие структурные уравнения:

[Ёа ,£Ь ] = 2ЧаЁ + Хп+С ^"а^С + 4ЪС )8п+с,

[а ,£] = хп+с (8ИГ^ — ^ъ^С )8п+с,

[ Ёа,8п+Ь] = Г аЬ8п+с,

[Ёа,8п+а] = ^а8п+с. Определим на многообразии В почти контактную структуру (!),3,Ё,Х = ^оп*, В), полагая

JXИ = (рт )И, JXv = (рГ /, 3 (£) = 0.

Здесь п: В ^ М — естественная проекция. Определим на многообразии В метрику g, подчиняющуюся равенствам

g (Xй ,¥И ) = g (Xv ,¥v ) = g (X, ¥ ),

g (Xй, ¥v ) = g (Xй ,£) = ^ (Xv ,£) = 0.

Назовем почти контактную метрическую структуру (В,3,ё,Л = ц°я*, В) продолженной структурой.

2. Поднятие полуинвариантных подмногообразий

Пусть и е Г(О) — допустимое векторное поле и У^ — К-связность на почти контактном метрическом многообразии М. Для каждого вектора У е ТМ, У = уаёа + у"дп определяется его горизонтальный лифт У^ = Уа ёа + у" ё. Допустимое векторное поле и е Г(О) определяет гладкое сечение и: М^О. Пусть и* : ТМ ^ ТО — соответствующее касательное линейное отображение. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть и е Г(О) — допустимое векторное поле, У^ — Ы-связностъ на почти контактном метрическом многообразии Ми У е ТМ — произвольный касательный к многообразию М вектор. Тогда выполняется следующее условие:

ууУ и = 0 □ и*(у) = Ук.

Условие У ^ и = 0 в адаптированных координатах перепишется в виде

уа (ёаиЬ +ГЬасис) = 0, у" (дпиЬ + пЬсис) = 0.

Переписывая в адаптированных координатах условие и*(У) = У^, после некоторых преобразований убеждаемся в справедливости теоремы.

Подмногообразие М многообразия М назовем полуинвариантным подмногообразием [8], если существует гладкое распределение О: х ^ Ох с Тх (М) на многообразии М, удовлетворяющее следующим условиям:

1) О — инвариантное относительно эндоморфизма ф распределение, то есть р(Ох) с Ох для всех х € М ;
2) дополнительное ортогональное распределение

Ь1: X ^ Ь^ Тх (ММ)

антиинвариантно, то есть <р(ЬХ1) с Тх (ММ)1 для всех х е ММ.

Теорема 2. Пусть и е Г(Ь) — ковариантно постоянное векторное поле относительно Ы-связности VЫ, а подмногообразие Мм многообразия М — полуинвариантное подмногообразие, тогда и(М) — полуинвариантное подмногообразие продолженной структуры на распределении Ь многообразия М.

Доказательство. Используя теорему 1, непосредственно проверяем, что выполняются следующие равенства:

М(и* (Ь)) с и* (Ь), М(и* (Ь1)) с и* (ТММ)1,

что и доказывает теорему.

Заключение

Справедливость теоремы 2 не зависит от выбора эндоморфизма N. В то же время свойства полуинвариантного подмногообразия Мм зависят от класса почти контактного метрического многообразия М, а свойства продолженной структуры — от выбора эндоморфизма N [5; 6]. Последнее замечание служит мотивацией для дальнейшего исследования проблемы поднятия полуинвариантных подмногообразий на распределения почти контактных метрических многообразий.

Список литературы

1. Букушева А. В. О тензоре Схоутена — Вагнера неголономного многообразия Кенмоцу // Тр. семин. по геометрии и математическому моделированию. 2019. № 5. С. 15—19.
2. Букушева А. В. Геодезические подмногообразия распределений субримановых многообразий // Математика и естественные науки. Теория и практика : межвуз. сб. науч. тр. Ярославль, 2019. С. 23—27.
3. Букушева А. В., Галаев С. В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. № 7. С. 12—14.
4. Букушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Саратовского университета. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, № 3. С. 17—22.
5. Галаев С. В. Почти контактные метрические пространства с N-связ-ностью // Изв. Саратовского университета. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, № 3. С. 258—263.
6. Галаев С. В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Изв. Саратовского университета. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, № 2. С. 138—147.
7. Ямпольский А. Л. О вполне геодезических векторных полях на подмногообразии // Мат. физ., анализ, геометрия. 1996. Т. 1, № 1—2. С. 540—545.
8. Bejancu A. Geometry of CR-Submanifolds. Springer, 1986.
9. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov, Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Vol. 4 (53), № 2. Р. 13—22.
10. Walczak P. On totally geodesic submanifolds of tangent bundle with Sasaki metric // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. 1989. Vol. 28, iss. 3—4. P. 161—165.

A. Bukusheva1 1 Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., Saratov, 410012, Russia bukusheva@list.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-5

Lifting semi-invariant submanifolds to distribution of almost contact metric manifolds

Submitted on May 15, 2020

Let M be an almost contact metric manifold of dimension n = 2m + 1. The distribution D of the manifold M admits a natural structure of a smooth manifold of dimension n= 4m + 1. On the manifold M, is defined

a linear connection VN that preserves the distribution D; this connection is determined by the interior connection that allows parallel transport of admissible vectors along admissible curves. The assigment of the linear

connection VN is equivalent to the assignment of a Riemannian metric of the Sasaki type on the distribution D. Certain tensor field of type (1,1) on D defines a so-called prolonged almost contact metric structure. Each section U e T(D) of the distribution D defines a morphism

U : M ^ D of smooth manifolds. It is proved that if A4 c M a semiinvariant submanifold of the manifold M and U e T(D) is a covariantly

constant vector field with respect to the N-connection VN, then U (M ) is a semi-invariant submanifold of the manifold D with respect to the prolonged almost contact metric structure.

References

1. Bukusheva, A. V.: On the Schouten — Wagner tensor of a nonho-lonomic Kenmotsu manifold. Proceedings of the seminar on geometry and mathematical modeling, 5, 15—19 (2019).
2. Bukusheva, A. V.: Geodesic submanifolds of distributions of sub-Riemannian manifolds. Mathematics and science. Theory and practice. Interuniversity collection of scientific papers. Yaroslavl. 23—27 (2019).
3. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: On an admissible Kahler structure on a tangent bundle to a nonholonomic manifold. Mathematics. Mechanic, 7, 12—14 (2005).
4. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by connection over distribution with admissible Finslerian metric. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 12:3, 17—22 (2012).
5. Galaev, S. V.: Almost contact metric spaces with N-connection. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 15:3, 258—263 (2015).
6. Galaev, S. V.: Extended Structures on Codistributions of Contact Metric Manifolds. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 17:2, 138—147 (2017).
7. Yampolsky, A.L.: On completely geodesic vector fields on a sub-manifold. Mat. physical, analysis, geometry, 1:1-2, 540—545 (1996).
8. Bejancu, A.: Geometry of CR-Submanifolds. Springer (1986).
9. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by connection over distribution. Bull. of the Transilvania University of Brasov, Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics, 4 (53):2, 13—22 (2011).
10. Walczak, P.: On totally geodesic submanifolds of tangent bundle with Sasaki metric. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math., 28:3-4, 161—165 (1989).
ПОЧТИ КОНТАКТНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ СЕЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛУИНВАРИАНТНОЕ ПОДМНОГООБРАЗИЕ ПРОДОЛЖЕННАЯ ПОЧТИ КОНТАКТНАЯ МЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА almost contact metric manifold section of a distribution semi-invariant manifold prolonged almost contact metric structure
Другие работы в данной теме: