Научтруд
Войти
Категория: Математика

НОРМАЛИЗАЦИИ НОРДЕНА - ЧАКМАЗЯНА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ЗАДАННЫХ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ

Научный труд разместил:
Opidar
11 сентября 2020
Автор: Елисеева Н. А.

УДК 514.75

Н. А. Елисеева1

1 Калининградский государственный технический университет, Россия ne2705@gmail.com doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-8

Нормализации Нордена — Чакмазяна распределений,заданных на гиперповерхности

В проективном пространстве продолжаем изучать гиперповерхность, несущую тройку сильно взаимных распределений. Для оснащающих распределений гиперповерхности внутренним образом введена нормализация в смысле Нордена — Чакмазяна.

В работе индексы принимают следующие значения:

с,Т = 1, п -1; p, q = 1, г ; v, w = Г +1, П -1; i, у = Г +1, m ; /и,^ = {1,г; т +1, п -1}; а,Ь = 1, т; а,р = т +1, п -1.

Продолжаем изучать гиперповерхность £2п-1 с Рп , несущую тройку сильно взаимных (Л, Ь, Е)-распределений [1]. Этот объект является элементом трехсоставного сильно взаимного распределения УИ с Рп [2] в случае, когда И-распределе-ние голономно, при этом основные распределения связаны соотношениями

Л (А0) с Мт (Л) с Ип-1 (А0), Мт(4) = [Л(А),Ь(4)], * = т - г ,

Поступила в редакцию 17.05.2020 г. © Елисеева Н. А., 2020

Н.А. Елисеева

Фп _г _х(А0) = [ Ц (Ао), Еп _т_Л Ао)],

V _1( Ао) = [Д (Ао), Еп _т _!(Ао)], Фп-г-М)пМт(Ао) = Ц(Ао), ^М)пМт(Ао) = Д(Ао),

где Фп_г_1(A0), VП_*_1(A0), Еп_т_1(Ао) — характеристики гиперплоскости Н (Ао) при смещениях центра Ао вдоль интегральных кривых Л-, Ц-, М-распределений [1].

1. Будем говорить, что Л-распределение, заданное на гиперповерхности Оп _1, нормализовано в смысле Нордена — Чакмазяна [2], если в каждой точке Ао е £п_1 к нему инвариантным образом присоединены поля нормалей 1-го рода Nп_г(Ао) и нормалей 2-го рода Ыг_1(Ао), определяемые, соответственно, полями квазитензоров

Уп р р и / \\ х-7 о , о о и

К + < = Ки®о (а), УКр + ®р = ури®о . (1)

Отметим, что в каждой точке Ао е £2п_1 нормаль 1-го рода Ып_г(А) = [Фп_г_х;Хп] проходит через характеристику Фп_г_х касательной гиперплоскости Н(Ао), полученную при смещениях точки Ао вдоль интегральных кривых Л-распределения. Требование инвариантности нормали Ып_г(Ао), где Хп = Ап + кРрАр + КуАУ , приводит к условиям (1.а). Если потребовать, чтобы прямая \\ = [Ао, Хп ] была инвариантна, то кроме (1.а) получим условия

УУ , V V и

К +®п =Кпи®о. (2)

Уравнения (2) выполняются, если охват объекта КУ} осуществить с помощью квазитензора

1

А = -ДрДр, уд;+< = л>0ет,

где А = {А } [3].

В дальнейшем считаем, что прямая \\ = [А0;Хп] инвариантна, а точка Хп имеет разложение вида

Хп = Ап + УрпАр +ЛА.

Итак, под полем нормалей 1-го рода Ып_г(А0) Л-распределения мы будем понимать поле соответствующего квазитензора {кр} .

Если охваты квазитензоров {кР}, {к°} осуществить, например, по формулам кр = Лр , у°р = 4р, где

ЛР = 1ЛЛ, УЛП +ар = ЛС*С, (3)

4 = -1Л, +^0=4х, (4)

то в дифференциальной окрестности 2-го порядка к оснащающему Л-распределению гиперповерхности Оп-1 внутренним образом присоединяется нормализация Нордена — Чакмазяна

(ЛР ,4).

Проведем аналогичные рассуждения для других оснащающих распределений гиперповерхности, что приведет нас к следующим результатам.

2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка к ¿-распределению, заданному на гиперповерхности Оп-1, внутренним образом будет присоединена нормализация в смысле Нор-дена — Чакмазяна, если охваты квазитензоров V} и {V0}, определяющих соответственно нормаль 1-го рода N„5 (а) = [^п-5-иУп ],

где Уп = Ап + КпА1 + Уи/Ам, и нормаль 2-го рода N5-х(А) сЬ(А), а0 еNs-х(А0),

осуществить по формулам у&п = Д, Ко = //, где

а = - да, уд + ®&п = аи<, (5)

К = -$4, УК + <= Ыг

/ = _1А, у/ + ®г0 = 4>оет. (6)

При этом прямая 11 = [Ао;Уп] будет инвариантна, если охват объекта {у^} построить следующим образом:

1

где Д = {Д ;Д} [3].

3. Нормализацию Нордена — Чакмазяна Е-распределения, заданного на гиперповерхности _1, определим следующим

образом. В каждой точке Ао е @п_1 для плоскости Е(Ао) заданы нормаль 1-го рода Ыт+х(А) = [Мт;2п], где

^п = Ап + <Аа+<Аа ,

и нормаль 2-го рода

Ып_т_2 (Ао) С Е(Ао) , А0 * Ып_т_2(Ао) ,

условия инвариантности которых соответственно имеют вид

Уа , а а и хп о , о о и Уп +®п = упи®о , Ууа+®а = Уаи®о . (7)

Соотношения (7) выполняются, если охваты квазитензоров }, {у°} представить, например, в виде

Vя = еа, V0 =£0,

п п & а а &

Т?а 1 /а /ьа о 1 .а где Еп =— ЛаЬ Лп , £а =--Да .

Если охват квазитензора {уа} осуществить, например, по

формуле Vап = Еап , где Еап =-1—-, то прямая

п - т -1

8\\ = [ А0; %п ] будет инвариантна.
4. Будем говорить, что оснащающее М-распределение гиперповерхности Оп-1 нормализовано в смысле Нордена — Чакмазяна [2], если к нему инвариантным образом присоединены поля нормалей 1-го рода Ып_т (Д) = [ Еп-т-1;еп ] и нормалей 2-го рода Шт_\\(Д), определяемые соответственно полями квазитензоров:

Уп , а а и хт 0 , 0 0 и Уп +®„= Упи®0 , V уп +®а = Уаи®0 ,

где ^ = Ап + vaaAa + ЕапЛа.

При этом охваты квазитензоров можно осуществить,

например, по формулам уI = Лап = {Л ;Лп} (3, 5),

у°° =Л°а = {Л°р¡Л,} (4, 6).

Прямая /Л\\ = [Л0; £п ] является инвариантной, если охват объекта {у" } представить в виде

г^а 1 а Ьа пга а -т^а и Еп = ЛаЬЛп , VEn +®п = Епи®0 .

5. Для оснащающего Ф-распределения гиперповерхности -1 нормализация в смысле Нордена — Чакмазяна [2] определяется следующим образом. В каждой точке Д0 е @п-1 для плоскости Ф(Л0) задается нормаль 1-го рода

N+х( Д.) = Л (А);Фп (Д))],

где Фп = Ап +у1 А +УрАр, и нормаль 2-го рода Ы_г_2(Ао) в смысле Нордена [4], условия инвариантности которых имеют

соответственно вид

Уу.у V и х-г^.о о и

Уп +®п = упи®о , У Уу +®у = ууи®о .

Охваты квазитензоров V}, {уу} можно осуществить, например, по формулам

уп = 4 = 4 ;4}, К = / = {/?;/£},

где 4, / определяются соответственно соотношениями (5), (6) и

1

Л а ± а лЧР У7 а , а а и п = ~Ач4 , У А + ®п = Апи®о

0о 1 лР Т7 о 0° и

Аа =--А , У/а +Юа= Аи®о .

Требование инвариантности прямой = [ Ао;Фп ] выполняется, если охват объекта {уР } , например, представить в виде

фр=-ЦаА:, УФР+<=ФК.

п-г - 1

6. В дифференциальной окрестности 2-го порядка к оснащающему У-распределению гиперповерхности Оп_1 внутренним образом будет присоединена нормализация в смысле Нордена — Чакмазяна, если охваты квазитензоров {у^} и

{V о}, задающих соответственно нормаль 1-го рода

Ы^А) = [Ц(А)^п(Ао)], где Гп = Ап +У^АМ + К„А1, и нормаль 2-го рода Ып_ 8 Ао), представить в виде

Се/ <Се/

<=<= АР;~}, К = 4 = А/;~},

где Л и Лр определяются соответственно по формулам (3), (4) и

~а 1 а Л]1 у, ~а а ~а и Лп = Л]Лп , VЛn +®п = Лnи^0,

~0 1 л п~0 0 ~0 и Ла =--Ла,, VЛа + ®а = Лаи®0 .

Прямая у/1 = [ Д0; ¥п ] является инвариантной, если VI = ¥&п,

где ¥п = -3-ЛтЛГ , V ^ + ®п = .

Список литературы

1. Елисеева Н. А. Гиперповерхность проективного пространства, оснащенная распределениями // ДГМФ. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 52—63.
2. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства : монография. СПб., 1992.
3. Елисеева Н. А. Поля фундаментальных и охваченных объектов гиперповерхности, оснащенной распределениями // ДГМФ. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 68—77.
4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

N. A Eliseeva] 1 Kaliningrad State Technical University 1 Sovietsky Prospect, Kaliningrad, 36022, Russia ne2705@gmail.com doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-8

Normalization of Norden — Chakmazyan for distributions given on a hypersurface

Submitted on May 17, 2020

In the projective space, we continue to study a hypersurface with three strongly mutual distributions. For equipping distributions of a hypersurface, normalization in the sense of Norden — Chakmazyan is

Н.А. Елисеева

introduced internally. The distribution of the equipping planes is normalized in the sense of Norden — Chakmazyan if the fields of normals of the 1st kind and normals of the 2nd kind are attached to it in an invariant way. For each equipping distribution, the fields of normals of the 1st and 2nd kind are defined by the corresponding fields of quasitensors. At each point of the hypersurface, the normal of the 1st kind of the equipping distribution of the hypersurface passes through the characteristic of the tangent hypersurface. This characteristic was obtained with displacements of the point along the integral curves of the equipping distribution.

For equipping distributions, the coverage of quasitensors is found under which the conditions of invariance of the normals of the 1st and 2nd kind are satisfied.

Coverage of quasitensors is found for which normalization in the sense of Norden — Chakmazyan is attached to the equipping distributions of the hypersurface in a second-order differential neighborhood.

References

1. Eliseeva, N.А.: Hypersurfaces of projective space equipped with distributions. DGMF. Kaliningrad. 44, 52—63 (2013).
2. Popov, Yu. I.: Fundamentals of the theory of three-part distributions of projective space. St. Petersburg (1992).
3. Eliseeva, N.A.: Fields of the fundamental and enveloped objects of hypersurface equipped with distributions. DGMF. Kaliningrad. 47, 68—77 (2016).
4. Norden, A. P.: Spaces with an affine connection. Moscow (1976).
ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛИЗАЦИЯ В СМЫСЛЕ НОРДЕНА ЧАКМАЗЯНА ИНВАРИАНТНОСТЬ НОРМАЛЕЙ 1-ГО И 2-ГО РОДА hypersurface distribution normalization in the sense of norden chakmazyan invariance of normals of the 1st and 2nd kind