Научтруд
Войти
Категория: Физика

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ВНУТРИРЕЗОНАТОРНОГО ОПТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА: МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ

Научный труд разместил:
Tygramand
15 сентября 2020
Автор: Морозов Ю. А.

Прикладные задачи

м^^и^^^м^м1 нелинейной теории колебании и волн

УДК 535.015; 535.14; 535.530; 537.86 https://doi.org/10.18500/0869-6632-2020-28-4-348-360

Анализ устойчивости состояния равновесия внутрирезонаторного оптического параметрического генератора: Метод разложения по малому параметру

Ю.А. Морозов

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН Россия, 410019 Саратов, ул. Зелёная, 38 E-mail: yuri.mor@rambler.ru Поступила в редакцию 17.03.2020, принята к публикации 29.04.2020, опубликована 31.08.2020

Цель настоящего исследования - в модели динамической системы с запаздыванием определить в аналитическом виде характеристики линейной устойчивости стационарного состояния оптического параметрического генератора с внутрирезонаторной накачкой полупроводниковым дисковым лазером. Методы. Для построения аналитического решения задачи используется метод разложения по степеням одного из малых параметров, входящих в систему. Результаты аналитического решения сопоставляются с точными численными решениями. Результаты. Показано, что при интенсивности первичной накачки, не достигающей порогового значения параметрической генерации аоро, стационарное состояние всегда устойчиво, как в обычном полупроводниковом дисковом лазере. Малые отклонения релаксируют к стационарному состоянию в виде импульсной последовательности с периодом следования, равным времени обхода по резонатору. Представлены соотношения, определяющие декремент затухания и несущую частоту импульсной последовательности. Относительные изменения амплитуды импульсной последовательности за один обход по резонатору не зависят от времени этого обхода. Показано, что в постпороговом режиме существует такая величина накачки аАН > аоро, что устойчивость стационарного состояния нарушается в результате бифуркации Андронова-Хопфа. Обсуждение. Результаты проведенных исследований найдут применение при создании и анализе характеристик новых устройств оптического диапазона, построенных на принципе нелинейно-оптического взаимодействия.

Образец цитирования: Морозов Ю.А. Анализ устойчивости состояния равновесия внутрирезонаторного оптического параметрического генератора: Метод разложения по малому параметру//Известия вузов. ПНД. 2020. T. 28, № 4. С. 348-360. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2020-28-4-348-360

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).

Финансовая поддержка. Работа выполнена в рамках государственного задания ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.

348

© Морозов Ю.А., 2020

https://doi.org/10.18500/0869-6632-2020-28-4-348-360

Analysis of steady-state stability for intracavity optical parametric oscillator: Method of small-parameter expansion

Yu. A. Morozov

Saratov Branch of Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of RAS 38, Zelenaya str., Saratov 410019, Russia E-mail: yuri.mor@rambler.ru Received 17.03.2020, accepted 29.04.2020, published 31.08.2020

The aim of the study is to analytically determine the linear stability of a steady-state operation point for an optical parametric oscillator (OPO) intracavity pumped by a semiconductor disk laser (SDL). Methods. In order to build the analytic approximation to the characteristic equation roots, the method of small-parameter expansion is used. The results of analytic and numerical methods are compared with each other. Results. As the primary pump intensity does not exceed the threshold value of parametric generation aopo, the steady-state operation point is shown to be stable, like that of an ordinary SDL does. Small deviations relax to the steady state in the form of a pulse sequence with a period that equals one round-trip time. Relations defining the attenuation decrement and the carrier frequency of the pulse sequence are presented. The relative changes in these deviations during one cavity round-trip are independent of this round-trip time. It is shown that in the above-threshold regime there is such a pump intensity oAh > oOPO at which the steady state loses stability as a result of the Andronov-Hopf bifurcation. Discussion. The results of the study could be applied for making and analysis of new optical devices based on nonlinear-optical interaction.

Reference: Morozov Yu.A. Analysis of steady-state stability for intracavity optical parametric oscillator: Method of small-parameter expansion. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2020, vol. 28, no. 4, pp. 348-360. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2020-28-4-348-360

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).

Acknowledgements. This work was carried out within the framework of the state task of the Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of RAS.

Введение

Начиная со времени первой успешной реализации в 1994 году [1], квантово-каскадные лазеры (ККЛ) стремительно развивались и в настоящее время рассматриваются в качестве одного из основных источников когерентного излучения в среднем и дальнем инфракрасном (ИК) диапазонах - участках спектра электромагнитных волн, недоступных для традиционных неохла-ждаемых полупроводниковых лазеров. Однако квантово-каскадным лазерам присущи некоторые неустранимые недостатки, которые сдерживают их успешное применение. Во первых, это относится к невозможности обеспечить инверсию населенности и, как следствие, генерацию излучения с длиной волны порядка 100 мкм при комнатной рабочей температуре. Во-вторых, ККЛ имманентна сложная структура активной области, состоящей из нескольких сотен квантово-размерных слоев, геометрические размеры которых должны выдерживаться при изготовлении с высокой точностью. Кроме того, пространственная структура пучка излучения ККЛ весьма далека от гауссова профиля, что также создает неудобства при использовании.

В то же время, давно известны и широко применяются (в том числе, в устройствах среднего и дальнего ИК диапазонов) генераторы, построенные на принципе преобразования частоты вниз вследствие нелинейно-оптического взаимодействия - генераторы разностной частоты (ГРЧ) и оптические параметрические генераторы (осцилляторы) (ОПГ) [2]. Согласно классификации, приведенной в [2], такие источники излучения относятся к лазерам В-класса. Для них характерно наличие одного (или нескольких) устойчивых резонаторов, поддерживающих гауссовы моды и, следовательно, пучки излучения отличаются высоким качеством. Излучение в лазерах

B-класса возникает не прямо в результате взаимодействия инвертированной электронной подсистемы с фотонной подсистемой, как в лазерах A-класса (к которым относятся и ККЛ), а опосредованно - в результате трехволнового нелинейно-оптического взаимодействия, при котором длинноволновое излучение формируется из более коротковолновых. При этом вопрос о создании инверсии населенности для длинноволнового излучения не возникает.

В настоящее время, в связи с развитием технологии изготовления и появлением новых нелинейных кристаллов, а также с применением перспективных лазерных способов накачки ГРЧ и ОПГ, интерес к созданию таких источников излучения возрастает [3-6]. Особенно многообещающими представляются внутрирезонаторные версии этих устройств, когда нелинейный кристалл, в котором выполняется преобразование частоты, помещается внутрь лазерного резонатора с малыми потерями. При этом, вследствие резонансного возрастания поля, эффективность нелинейно-оптического взаимодействия увеличивается и порог параметрической генерации может быть значительно снижен. На этом принципе построен, в частности, внутрирезонаторный оптический параметрический генератор (ВОПГ), предложенный Стотардом [7]. В этом генераторе нелинейный кристалл помещен в резонатор полупроводникового дискового лазера (ПДЛ), который также называют лазером с внешним вертикальным резонатором. Длина волны излучения ПДЛ составляет приблизительно 1.05 мкм; фотоны этого излучения распадаются в результате нелинейно-оптического взаимодействия на фотоны сигнального (с длиной волны 1.6 мкм) и холостого излучения на длине волны 3.05 мкм. Резонаторы лазерного и сигнального излучения в ВОПГ Стотарда разделены и поэтому с технической точки зрения практически невозможно создать в рамках этого подхода ВОПГ с холостым излучением на длине волны, намного превышающей указанное значение.

Недавно нами предложен ВОПГ с внутрирезонаторной накачкой от ПДЛ, в котором лазерное и сигнальное излучение имеют один общий резонатор [8]. При этом продвижение длины волны холостого излучения в более (по сравнению с [7]) длинноволновый диапазон ограничивается лишь поглощением этого излучения в полосе остаточных лучей (reststrahlen band) используемого нелинейного кристалла. Так, для ВОПГ [8] с нелинейным кристаллом GaAs длина волны холостого излучения составляет 16.5 мкм. Кроме того, схема ВОПГ значительно упрощается, он может быть, по оценкам, сделан более компактным, с длиной резонатора порядка 30...50 мм.

Большинство математических моделей ВОПГ строится с использованием метода разложения оптических полей по нормальным модам резонатора (резонаторов) [7,9-11]. К недостаткам этого метода относится невозможность анализировать быстрые (в масштабе времени обхода резонатора) колебания амплитуд оптических полей (динамических переменных задачи). С целью устранения этого недостатка и углубления понимания физических процессов в приборе, нами предложена новая математическая модель, в рамках которой ВОПГ рассматривается как динамическая система с временным запаздыванием [12]. Уравнения этой модели записаны относительно чисел фотонов в лазерном и сигнальном оптических полях внутри активного лазерного зеркала. Влияние внешнего резонатора учитывается с помощью запаздывающих отражений, причем, в отличие от известной модели Ланга-Кобаяши [13], величина этих отражений предполагается большой по сравнению с отражениями внутри активного зеркала.

С применением математической модели динамической системы с запаздыванием, в работе [12] проанализированы характеристики излучения ВОПГ [8], в том числе выполнено изучение устойчивости состояния равновесия динамической системы с помощью известного пакета для численного бифуркационного анализа [14].

В настоящей работе, пользуясь наличием малых параметров в модели динамической системы [12], для анализа устойчивости стационарного состояния ВОПГ применены методы теории возмущений (см., например, [15]). Разложение характеристического уравнения задачи в ряд по степеням малого параметра позволяет выявить основные взаимосвязи между параметрами системы и характеристиками состояния равновесия в аналитическом виде, что способствует более глубокому пониманию физических процессов в приборе.

1. Внутрирезонаторный оптический параметрический генератор как динамическая система с запаздыванием

На рис. 1 схематически показано устройство ВОПГ с внутрирезонаторной накачкой ПДЛ [8,12]. Активное зеркало (gain mirror) состоит из квантово-размерной активной области и двухполосного брэгговского зеркала БЗ (double-band mirror, DBM). Последнее обеспечивает высокий коэффициент отражения для обоих резонансных оптических полей - лазерного излучения с длиной волны 1.98 мкм (накачки, pump) и сигнального излучения (2.25 мкм). Резонатор устройства, собственными функциями (модами) которого являются поля накачки и сигнала, образован активным зеркалом с одной стороны и сферическим зеркалом с другой. Трехволновое нелинейно-оптическое взаимодействие осуществляется в нелинейном кристалле с квазисинхронизмом на основе GaAs. Выходное сферическое зеркало является прозрачным для холостого излучения с длиной волны 16.5 мкм. Первичная оптическая накачка активной области ПДЛ выполняется полупроводниковым лазером с длиной волны 0.98 мкм.

Математическая модель ВОПГ как динамической системы с запаздыванием формализуется в виде следующих уравнений (см. подробный вывод в [12]).

a i = п

(G - Ц + 1 - l) - ^ («2 + «2т)

V = о — V — Ga1

а 2 = п

-1 + 1 (— - l ) + 1 (ai + air) 1 \\а2 J

Здесь функции а\\ и а2 представляют числа фотонов в полях накачки и сигнала, нормированные на ао = у^/п; число носителей в квантовых ямах V нормировано на пороговое значение у^, П = тг/Хрь ^ 1, тг и Хрь = (ида8)-1 время жизни носителей и фотонов в активном зеркале (ид - групповая скорость для излучения накачки и сигнала). Точки над переменными в левой части означают дифференцирование по величине безразмерного времени §=£/тг. Величины

Quantum well gain region

Double-band

mirror (DBM) Gain mirror

Nonlinear quasi-phase-matched crystal (GaAs)

Concave mirror

Pump (1.98 |im) Signal (2.25 |m)

Idler radiation (16.5 |im)

Primary pump (980 nm)

Рис. 1. Схема внутрирезонаторного ОПГ с накачкой ПДЛ Fig. 1. Setup of intracavity OPO pumped by SDL

с индексом т относятся к запаздывающему моменту времени, то есть а^ = а^ — т), где т = 2Ь/(стг), Ь - длина резонатора, с - скорость света в вакууме. Т = - потери в резонаторе за проход, причем а3 = а;п — (¿¡п)-11п[гввм(1 — )Д], а;п - внутренние потери вследствие рассеяния и нерезонансного поглощения, гввм, т и К - коэффициенты отражения двухполосного БЗ, внешней поверхности активного зеркала и сферического выходного зеркала, соответственно. Нормированный коэффициент усиления С равен

G = 1 + Go ln v, (2)

где G0 = AmGQw/Т, m - число квантовых ям в активной области, Gqw коэффициент усиления, приходящийся на одну квантовую яму. При этом пороговое значение числа носителей может быть записано в виде vth = mnw^Nt exp(1/G0), где юрр радиус пучка первичной оптической накачки, Nt плотность числа носителей, соответствующая просветлению активной среды (transparent carrier density). Коэффициент нелинейного взаимодействия определяется в форме 8 = pa0/xin, где Tin = 2Lin/vg время обхода активного зеркала, ц = 2у/[л(-ш2 + w2)}. При выводе выражений предполагалось, что оптические поля накачки и сигнала представлены в форме гауссовых пучков с радиусами перетяжек внутри кристалла W\\ и w2,

Y = i:32^- (Я~) ^з, (3)

П\\П2П3 V ХД

= 120п - волновое сопротивление вакуума, й\\4 - элемент тензора нелинейной восприимчивости кристалла ваАз, Ьс - длина кристалла, Х1 и Х2 - длина волны накачки и сигнальной волны, ^1,2,3 - коэффициенты преломления, Яюэ - энергия фотонов холостой волны. В уравнениях ( ) о соответствует мощности внешней первичной накачки Р, нормированной на пороговое значение Ръъ лазерной генерации.

Характеристическое уравнение, определяющее устойчивость стационарного состояния (а1о, а20, Уо), можно записать в следующем виде:

ёе^Д(Х)) = 0, (4)

где Д(Х) = XI — Ао — А1 ехр(—Хт), I - единичная матрица, а Ао и А1 - матрицы производных от правых частей уравнений (1) по переменным (й1, а2, V) и запаздывающим переменным (а1т, а2т), соответственно. Значения матриц вычисляются в стационарном состоянии (аю, 0,20, vо).

2. Метод асимптотических разложений по малому параметру

Для решения трансцендентного алгебраического уравнения (4) возможно применение методов теории возмущений [15] поскольку некоторые параметры исходной системы уравнений (1) имеют малые значения. В данной работе мы будем использовать разложение решения характеристического уравнения (4) в асимптотический ряд по параметру Т ~ 0.01...0.05:

X = Хо + ТХт + Т 2ХТт + 0(Т3). (5)

2.1. Режим лазерной генерации без параметрического преобразования частоты. Прежде всего, рассмотрим ВОПГ при условии, что интенсивность первичной накачки превышает пороговое значение лазерной генерации, но меньше порога возбуждения параметрического вынужденного излучения 1 < о < Ооро. В этом режиме а2о = а2от = 0 и прибор, по существу, работает в режиме обычного ПДЛ, когда нелинейный кристалл не нагружает резонатор. Из уравнений (1)

легко видеть, что в стационарном состоянии С = 1 и, следовательно, уо = 1 и йщ = а1от = о — 1. При этом матрица Л(Х) принимает следующее значение:

/Х + Б(1 - ехр(—Хт)) -ю2 ^баю(1 + ехр(-Хт)) \\

Л(Х) = I 1 Х + 6 0 I . (6)

\\ 0 0 Х + Б(1 - ехр(-Хт)) + Б(Т - 28аю)/

Здесь введены следующие обозначения: Б=г\\/Т, = г\\а\\0йС/йу, Ь = 1+а\\0йС/йу = 1+ю2/п. Следовательно, характеристическое уравнение распадается на два:

Х + Б(1 - ехр(-Хт)) + Б(Т - 2Ьат) = 0, (7)

[Х + Б(1 - ехр(-Хт))](Х + Ь) + ю2 = 0. (8)

Рассмотрим вначале последнее уравнение (8). В него не входят параметры нелинейного кристалла, то есть оно представляет характеристическое уравнение ПДЛ без нелинейно-оптического взаимодействия (см. также [16]). В предельном случае отсутствия внешнего резонатора (при т ^ 0) получим решение в виде

Х1,2 = -Ь/2 ± у/(Ь/2)2 - ю2 и -Ь/2 ± зюг, (9)

поскольку ю2 = (Ь - 1)п ^ (Ь/2)2 при достаточном удалении от порогового значения лазерной генерации, ] = у/-1. То есть введенные ранее величины юг и Ь представляют собой частоту и половину декремента затухания релаксационных колебаний полупроводникового лазера, состоящего из активного зеркала, на внешнюю поверхность которого нанесен отражатель с коэффициентом отражения внешнего зеркала К.

Вернемся к рассмотрению ПДЛ с резонатором конечной длины (т = 0). Уравнение ( ) удобно записать в виде

[Х- + (1 - ехр(-Хт))](Х + Ь) + Т(Ь - 1) = 0. (10)

Используя разложение (5), в нулевом порядке по Т получим

Т0 : [1 - ехр(-Хот)](Хо + Ь) = 0. (11)

Один из корней этого уравнения Хо = -Ь является чисто действительным и имеет отрицательное значение порядка 0(1); собственные функции, отвечающие этому корню, быстро затухают и интереса для нас не представляют. Другие корни являются чисто мнимыми:

Хор = ]2пр/т = эО.Р (12)

с любыми целочисленными значениями р. Приравнивая нулю сумму членов порядка Т1 в разложении уравнения (10), будем иметь

Т1 : (\\тт + ^ (Ь + 3Р) + (Ь - 1) = 0, (13)

Ь (ю„ \\ 2 О„ / ю„ \\ 2

х = - ь( юЛ2 - .° 1 / ю^У 7 п ^ОрУ * п Vар)

Здесь использовано соотношение (Ь/Ор)2 ^ 1, которое, как будет показано далее, справедливо для значений частоты Ор, представляющих интерес. И наконец, объединяя в разложении уравнения (10) члены второго порядка по Т и приравнивая их сумму нулю, получим

"кттт = "т т

1
1+( Qp)

"т Т ~2~

Действительная часть корней характеристического уравнения в асимптотическом разложении до членов порядка Т2

2"

Re (А) = Т Re (Ат) + Т2 Re (Атт) --т

/оЛ 2 + Т /ЦЛ 2 /оЛ2

VqJ 2\\ п) VОр)

Из последнего выражения, прежде всего следует, что состояние равновесия ПДЛ без нелинейного кристалла всегда устойчиво (Re (А,) < 0) - вывод, который хорошо известен из практики использования такого лазера. Кроме того, изменение амплитуды собственной функции характеристического уравнения за время одного обхода по резонатору 1 — Re (Ат) не зависит от времени обхода. Так происходит потому, что усиление и потери ПДЛ не являются распределенными по длине, а напротив, локализованы в концевых точках резонатора.

Мнимая часть корней характеристического уравнения в разложении до Т1 имеет вид

Im (А) = Qp

1-Пт

i -(О;)

Удобно изображать корни характеристического уравнения на комплексной плоскости ^е(Ат), 1т (А)), поскольку при увеличении длины резонатора (то есть запаздывания т) соседние значения частоты сближаются, образуя при т ^ те непрерывную ветвь (точнее, две ветви комплексно-сопряженных значений на этой комплексной плоскости). На этой ветви существует максимальное значение действительной части корней Re (А(г)т), отвечающее частоте

Сказанное проиллюстрировано рис. 2, на котором изображена ветвь корней характеристического уравнения (10), расположенная в верхней полуплоскости комплексной переменной. Здесь длина внешнего резонатора Ь выбрана равной 100 мм, что соответствует нормированному значению запаздывания т = = 2Ь/(схг) « 0.33. Кружками изображены корни, рассчитанные численными методами с помощью пакета ВШТООЬ [14], а звездочками - в соответствии с разложениями (16) и (17). Видно, что расхождение между результатами расчетов заметно только в области уменьшающихся значений 1т (А), то есть в области, где возможно нарушение одного из использованных приближений (Ь/Ор)2 ^ 1. Видно также, что при выбранном значении запаздывания т действительные части корней мало отличаются друг от друга в окрестности

600
400
200

^ ш. k 0

\\ ФК * .ж

•ж ** • ж

Re(Xx)xl0-:

Рис. 2. Корни характеристического уравнения (10). Кружки соответствуют точному численному расчету [14], звездочки - асимптотическому разложению по степеням малого параметра Т

Fig. 2. Roots of characteristic equation (10). Circles and stars correspond to exact numerical solution [14] and the expansion by orders of small parameter T, respectively

2

максимального значения ). Это означает, что затухание отклонений от стационарного

состояния происходит в виде релаксационной импульсной последовательности с несущей частотой, приблизительно равной . Для пояснения ниже приводится рис. 3, на котором изображена динамика установления стационарного состояния ПДЛ на всем рассматриваемом интервале времени (а) и на конечном этапе установления (Ь). Из рис. 3, Ь следует, что релаксационная импульсная последовательность имеет период следования, приблизительно равный т; несущая частота импульсов - около , а длительность импульса в последовательности определяется шириной спектра вблизи этой частоты (см. также рис. 2).

Из анализа уравнения (16) следует, что

1/4 / 2 \\1/4

- ^Г ( у) > Ь > 1 (18)

для значений первичной накачки, значительно превышающих порог лазерной генерации. Максимальная величина действительной части корней характеристического уравнения (декремента затухания релаксационной импульсной последовательности) равна

= ^ [1 - С&)

Заметим, что в модели с разложением оптических полей по нормальным модам резонатора, ПДЛ с типичными значениями параметров относится, согласно классификации Арекки [17], к лазерам класса А с однородно уширенной линией генерации и поэтому установление стационарного состояния ПДЛ должно происходить адиабатически без релаксационных колебаний. Наша модель с запаздыванием приводит к иной картине установления - через релаксационные колебания, параметры которых определяются соотношениями (18), (19). Справедливости ради, следует подчеркнуть, что в типичных случаях, частота /(2п) составляет величину порядка десятков гигагерц и наблюдение переходного процесса затруднено в силу необходимости использования широкополосного детектора.

2 b Т (5-1).

a1 8 6 4 2

9.002
9.001

).0008.999

8.998
8.997
0.1

Ю ЮО 1000 t/xr 4999.0 4999.2 4999.4 4999.6 4999.8

Рис. 3. a - Динамика переходного процесса ВОПГ в допороговом режиме а < Gopo во всем рассматриваемом интервале времени. Масштаб по оси абсцисс логарифмический; b - Переходная динамика вблизи конечного значения времени

Fig. 3. a - Transient dynamics of an intracavity OPO under primary pump intensity а < gopo over the total time interval in the logarithmic scale; b - Trailing part of the transient dynamics

1

Обратимся к решениям уравнения (7), которые являются подмножеством решений характеристического уравнения (4) с матрицей А(Х), определяемой соотношением (6). Величина е = 28аю - малая величина О(Т). В разложении до второго порядка малости по е и Т имеем

X = Ао + ТХт + Т21Тт + еХЕ + е2ХЕЕ + еTXEт + 0(Т3).

Применяя процедуру, изложенную выше [15], для мнимой части корней уравнения (7) получим

!ш (х) = 1 - .

Здесь сохранены только члены первого порядка по Т. Действительная часть корней уравнения (7) равна

Ие (X) = — т

- 4 - + ?(*)

Максимальное значение этой функции достигается на действительной оси комплексной плоскости X, то есть при —р = 0, и составляет

Ие (X) = -1 т

(Т - е) 1 О - ^)

-1 <г - е)(23)

Устойчивость стационарного состояния нарушается, когда в результате роста первичной оптической накачки о (и, следовательно, количества фотонов в лазерном излучении а10 = о - 1), величина е = 26аю достигает значения Т. При этом лазер переходит в режим, когда лазерное излучение сопровождается параметрической вынужденной генерацией.

2.2. Внутрирезонаторная параметрическая генерация. Состояние равновесия в режиме параметрической генерации определяется из решения (1) в следующем виде:

С - 1 - 2Ьа2о/Т = 0, о - у0 - Са\\0 = 0, -1 + 28й1о/Т = 0.

В этих уравнениях величина первичной накачки о > ооро, где ооро = 1+Т/(26) - величина накачки на пороге параметрической генерации. Характеристическое уравнение для стационарного состояния (24) таково:

^АП + 1 - е-Хт^ ^АП + 1 - е-Хт^ (X + Ь) + Т(Ь - 1)С

+ ^(С - 1)(1 + е-^)2^ + Ь) = 0.

Выполняя процедуру, аналогичную описанной в предыдущем разделе, в разложении действительной части корней до второго порядка по Т включительно, получим

Ие (X) = — к ! 2т

Т — - —^ - Ь-( ^Л

П V п ) П \\—р/

Здесь мы снова полагаем (Ь/—р)2 ^ 1 и, кроме того, л/С - 1 » (6/—р)2. Мнимую часть корней характеристического уравнения можно записать в виде

/ Т \\ Т

1ш (X) = —„ 1--± - VО - 1.

\\ Пт / т

2
2

Знаки ± в уравнениях (26), (27) соответствуют двум ветвям корней характеристического уравнения, расположенным в верхней полуплоскости комплексной переменной X (заметим, что в нижней полуплоскости имеются две дополнительные комплексно-сопряженные ветви). На первой ветви в верхней полуплоскости, которой отвечает знак плюс, действительная часть корней всегда превышает соответствующие значения на второй ветви, которая получается при выборе знака минус в уравнениях (26), (27). Поскольку затухание собственных функций характеристического уравнения происходит, в конечном итоге, со значением декремента, представленным максимальным значением Ие (X), то нас, в первую очередь, будет интересовать поведение первой ветви при изменении параметров динамической системы. Анализ (26) показывает, что действительная часть достигает максимума при выполнении следующего уравнения:

х^ - 0.5ж^ - А = 0 (28)

и равна

Re (X)max = 3Т —— хт( 1 - 3. (29)

Здесь введены следующие обозначения:

А = Ь-П

ьр,тах

nVG—l&

KG - 1)n J

G o/ oqpo (31)

Т (о/оорс - 1)2&

При хт = 3/4 и, как следует из ( ), при А = 27/256 « 0.1055 максимальное значение Ие (Х)тах достигает нуля и исследуемое стационарное состояние теряет устойчивость вследствие бифуркации Андронова-Хопфа. Это происходит при некотором значении первичной накачки оан. На рис. 4 продемонстрированы обе ветви решений характеристического уравнения, расположенные в верхней комплексной полуплоскости при о > оан; снова круги изображают решения, полученные точными методами [14], а звездочки - решения, представленные разложениями (26), (27). Совпадение решений хуже, чем на рис. 2, но тоже вполне приемлемое. Точность решений может быть повышена при сохранении порядка разложений в формуле (26) до 0(Т3), однако, это вызовет появление более громоздких выражений.

2

Im(X) 600 400 200

^ £ ш ж* **ж* • * ж* •

* • ***

ж* • * * • * «ж * • • • * *• ж

-10 -8 -6 -4 Re(^x) х 10"4

Рис. 4. Корни характеристического уравнения в режиме параметрической генерации. Кружки соответствуют точному численному расчету [14], звездочки - асимптотическим разложениям ( ), ( )

Fig. 4. Roots of characteristic equation for parametric generation. Circles and stars correspond to exact numerical solution [14] and the expansions, respectivly, according to (26), (27)

Заключение

Для оптического параметрического генератора с внутрирезонаторной накачкой полупроводниковым дисковым лазером построены разложения корней характеристического уравнения по степеням малого параметра Т для состояний равновесия в двух режимах работы: i) допо-роговом режиме, то есть при интенсивности первичной оптической накачки, не превышающей пороговое значение параметрической генерации oopo и ii) при о > oopo. Для допорогового режима i) показано, что:

• одно из подмножеств решений совпадает с решением характеристического уравнения для обычного ПДЛ (10), рассматриваемого в качестве динамической системы с временным запаздыванием. Поэтому полученные результаты представляют интерес, в том числе, для исследователей лазеров такого типа;

• стационарное состояние ПДЛ является устойчивым при любых значениях параметров;

• относительное изменение величины отклонений от стационарного состояния 1 — Re (Хт) за время одного обхода по резонатору не зависит от времени этого обхода. Затухание этих отклонений имеет декремент (19) и происходит в виде релаксационной импульсной последовательности с периодом следования, равным времени обхода по резонатору и несущей частотой вблизи Q(r) ( ).

Для режима параметрической вынужденной генерации ii) установлено, что:

• на комплексной плоскости (Re(Xr), Im(X)) имеются две пары комплексно-сопряженных ветвей, представляющих решение характеристического уравнения. Разложения (26), (27) представляют зависимость действительной и мнимой частей этого решения от параметров лазера и накачки;

• максимальное значение декремента собственных функций характеристического уравнения достигает нуля при значении частоты Qp,max = 0.7Ъц\\/С — 1 и интенсивности первичной накачки oah, определяемой из ( ) при А = 27/256.

Библиографический список

1. Faist J., Capasso F., Sivco D.L., Sirtori C., Hutchinson A.L., and Cho A.Y Quantum cascade laser // Science. 1994. Vol. 264. P. 553-556.
2. Tittel F.K., Richter D., and Fried A. Mid-Infrared Laser Applications in Spectroscopy. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. 516 p.
3. He Y., Xu D., Yao J., Wang Y., Guo Y., Zhu X., Yan C., Tang L., Li J., Zhong K., Wu Y., and Yao J. Intracavity-pumped, mid-infrared tandem optical parametric oscillator based on BaGa4Se7 crystal // IEEE Phot. Journal. 2019. Vol. 11. 1300109 (10 pp).
4. Das S. Optical parametric oscillator: Status of tunable radiation in mid-IR to IR spectral range based on ZnGeP2 crystal pumped by solid state lasers // Optical and Quant. Electronics. 2019. Vol. 51. 70 (47 pp).
5. Deng C. Modeling of self-pumped singly resonant optical parametric oscillator // IEEE Phot. Journal. 2018. Vol. 10. 1502212 (13 pp).
6. Ebrahim-Zadeh M., Kumar S.C., Esteban-Martin A., and Samanta G.K. Breakthroughs in photonics 2012: Breakthroughs in optical parametric oscillators // IEEE Phot. Journal. 2013. Vol. 5. 0700105 (5 pp).
7. Stothard D.J.M., Hopkins J.-M., Burns D., and Dunn M.H. Stable, continuous-wave, intracavity, optical parametric oscillator pumped by a semiconductor disk laser (VECSEL) // Optics Express. 2009. Vol. 17. P. 10648-10658.
8. Morozov Y.A., Morozov M.Y., Kozlovsky V.I., and Okhotnikov O.G. Compact intracavity singly-resonant optical parametric oscillator pumped by GaSb-based vertical external cavity surface-emitting laser: Concept and the main operational characteristics // IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electron. 2015. Vol. 21. 1603105 (5 pp).
9. Turnbull G.A., Dunn M.H., and Ebrahimzadeh M. Continuous-wave, intracavity optical parametric oscillators: An analysis of power characteristics // Appl. Phys B. 1998. Vol. 66. P. 701-710.
10. Debuisschert T., RaffyJ., PocholleJ.P., and Papuchon M. Intracavity optical parametric oscillator: Study of the dynamics in pulsed regime // JOSA B. 1996. Vol. 13. P. 1569-1587.
11. Morozov YA. Transient power characteristics of a compact singly resonant intracavity optical parametric oscillator pumped by a semiconductor disk laser // JOSA B. 2016. Vol. 33. P. 1470-1475.
12. Morozov Y.A., Morozov M.Y., Balakin M., KochkurovL.A., andKonyukhov A.I. Time-delay model of nonlinear frequency down-conversion in the cavity of a semiconductor disk laser // Phys. Rev. Applied. 2019. Vol. 11. 044027 (8 pp).
13. Lang R. and Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties // IEEE J. Quantum Electron. 1980. Vol. 16. P. 347-355.
14. Engelborghs K., Luzyanina T., and Roose D. Numerical bifurcation analysis of delay differential equations using DDE-BIFTOOL // ACM Transactions on Mathematical Software. 2002. Vol. 28. P. 1-21.
15. Найфэ A. Введение в методы возмущений. Москва: Наука, 1984. 535 p.
16. Морозов М.Ю., Морозов Ю.А., Красникова И.В. Динамические режимы двухчастотного лазера с вертикальным внешним резонатором // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55, вып. 10. С. 1243-1249.
17. Tredicce J.R., Arecchi F.T., Lippi G.L., and Puccioni G.P. Instabilities in lasers with an injected signal // JOSA B. 1985. Vol. 2. P. 173-183.

References

1. Faist J., Capasso F., Sivco D.L., Sirtori C., Hutchinson A.L., and Cho A.Y. Quantum cascade laser. Science, 1994, vol. 264, pp. 553-556.
2. Tittel F.K., Richter D., and Fried A. Mid-Infrared Laser Applications in Spectroscopy. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2003, 516 p.
3. He Y., Xu D., Yao J., Wang Y., Guo Y., Zhu X., Yan C., Tang L., Li J., Zhong K., Wu Y., and Yao J. Intracavity-pumped, mid-infrared tandem optical parametric oscillator based on BaGa4Se7 crystal. IEEE Phot. Journal, 2019, vol. 11, 1300109 (10 pp).
4. Das S. Optical parametric oscillator: Status of tunable radiation in mid-IR to IR spectral range based on ZnGeP2 crystal pumped by solid state lasers. Optical and Quant. Electronics, 2019, vol. 51, 70 (47 pp).
5. Deng C. Modeling of self-pumped singly resonant optical parametric oscillator. IEEE Phot. Journal, 2018, vol. 10, 1502212 (13 pp).
6. Ebrahim-Zadeh M., Kumar S.C., Esteban-Martin A., and Samanta G.K. Breakthroughs in photonics 2012: Breakthroughs in optical parametric oscillators. IEEE Phot. Journal, 2013, vol. 5, 0700105 (5 pp).
7. Stothard D.J.M., Hopkins J.-M., Burns D., and Dunn M.H. Stable, continuous-wave, intracavity, optical parametric oscillator pumped by a semiconductor disk laser (VECSEL). Optics Express, 2009, vol. 17, pp. 10648-10658.
8. Morozov Y.A., Morozov M.Y., Kozlovsky V.I., and Okhotnikov O.G. Compact intracavity singly-resonant optical parametric oscillator pumped by GaSb-based vertical external cavity surface-emitting laser: Concept and the main operational characteristics. IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electron., 2015, vol. 21, 1603105 (5 pp).
9. Turnbull G.A., Dunn M.H., and Ebrahimzadeh M. Continuous-wave, intracavity optical parametric oscillators: An analysis of power characteristics. Appl. Phys B, 1998, vol. 66, pp. 701-710.
10. Debuisschert T., Raffy J., Pocholle J.P., and Papuchon M. Intracavity optical parametric oscillator: Study of the dynamics in pulsed regime. JOSA B, 1996, vol. 13, pp. 1569-1587.
11. Morozov Y.A. Transient power characteristics of a compact singly resonant intracavity optical parametric oscillator pumped by a semiconductor disk laser. JOSA B, 2016, vol. 33, pp. 1470-1475.
12. Morozov Y.A., Morozov M.Y., Balakin M., Kochkurov L.A., and Konyukhov A.I. Time-delay model of nonlinear frequency down-conversion in the cavity of a semiconductor disk laser. Phys. Rev. Applied, 2019, vol. 11, 044027 (8 pp).
13. Lang R. and Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties. IEEE J. Quantum Electron., 1980, vol. 16, pp. 347-355.
14. Engelborghs K., Luzyanina T., and Roose D. Numerical bifurcation analysis of delay differential equations using DDE-BIFTOOL. ACM Transactions on Mathematical Software, 2002, vol. 28, pp. 1-21.
15. Naifeh A. Introduction to Perturbation Techniques. New York: John Wiley and Sons, 1981, 535 p.
16. Morozov M.Y., Morozov Y.A., and Krasnikova I.V. Dynamic regimes of the dual-wavelength vertical external cavity surface-emitting laser. Journ. of Commun. Technology and Electronics, 2010, vol. 55, pp. 1162-1168.
17. Tredicce J.R., Arecchi F.T., Lippi G.L., and Puccioni G.P. Instabilities in lasers with an injected signal. JOSA B, 1985, vol. 2, pp. 173-183.

Морозов Юрий Александрович - кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова Российской академии наук.

Россия, 410019 Саратов, ул. Зеленая, 38

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН E-mail: yuri.mor@rambler.ru

ТРЕХВОЛНОВОЕ НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ДИСКОВЫЙ ЛАЗЕР ОПТИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ three-wave nonlinear-optical interaction semiconductor disk laser optical parametric oscillator time-delayed dynamic system
Другие работы в данной теме: